Lý thuyết xác suất và biến cố

1. Định nghĩa truyền thống của xác suất

Giả sử \(A\) là trở thành cố tương quan cho tới phép tắc test \(T\) và phép tắc test \(T\) sở hữu một số trong những hữu hạn thành phẩm hoàn toàn có thể sở hữu, đồng kĩ năng. Khi ê tớ gọi tỉ số \(\frac{n(A)}{n(\Omega )}\) là xác suất của biến cố \(A\), kí hiệu là

\(P(A)\) = \(\frac{n(A)}{n(\Omega )}\)

Trong ê,

+) \(n(A)\) là số thành phần của hội tụ \(A\), cũng đó là số những thành phẩm hoàn toàn có thể sở hữu của phép tắc test \(T\) tiện nghi mang đến trở thành cố \(A\);

+) \(n(Ω)\) là số thành phần của không khí hình mẫu \(Ω\), cũng đó là số những thành phẩm hoàn toàn có thể sở hữu của phép tắc test \(T\).

Ví dụ:

Gieo tình cờ một con cái súc sắc bằng vận và đồng hóa học. Tính phần trăm nhằm mặt mày xuất hiện tại là mặt mày sở hữu số phân chia không còn mang đến \(3\).

Hướng dẫn:

Không gian tham hình mẫu \(\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)

\( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 6\).

Biến cố \(A:\) Mặt xuất hiện tại sở hữu số phân chia không còn mang đến \(3\).

Khi ê \(A = \left\{ {3;6} \right\}\)

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 2\).

Vậy phần trăm \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

2. Các đặc điểm cơ phiên bản của xác suất

2.1 Định lí

a) \(P(\phi) = 0; P(Ω) = 1\).

b) \(0 ≤ P(A) ≤ 1\), với từng trở thành cố \(A\).

c) Nếu \(A\) và \(B\) xung xung khắc cùng nhau, thì tớ có

\(P(A ∪ B) = P(A) + P(B)\) (công thức nằm trong xác suất).

2.2 Hệ quả

Với từng trở thành cố \(A\), tớ luôn luôn trực tiếp có: \(P\)(\(\overline{A}\)) = \(1 - P(A)\).

3. Hai trở thành cố độc lập

Định nghĩa

Hai trở thành cố (liên quan tiền cho tới và một phép tắc thử) là song lập cùng nhau khi và chỉ khi việc xẩy ra hay là không xẩy ra của trở thành cố này sẽ không thực hiện tác động cho tới phần trăm xẩy ra của trở thành cố ê (nói cách tiếp theo là ko thực hiện tác động cho tới kĩ năng xẩy ra của trở thành cố kia).

Định lí

Nếu \(A, B\) là nhì trở thành cố (liên quan tiền cho tới và một phép tắc thử) sao mang đến \(P(A) > 0\),

\(P(B) > 0\) thì tớ có:

Xem thêm: 1 gram bằng bao nhiêu

a) \(A\) và \(B\) là nhì trở thành cố song lập cùng nhau khi và chỉ khi:

\(P(A . B) = P(A) . P(B)\)

Chú ý: Kết trái khoáy vừa vặn nêu chỉ đúng trong những tình huống tham khảo tính song lập chỉ của 2 trở thành cố.

b) Nếu \(A\) và \(B\) song lập cùng nhau thì những cặp trở thành cố tại đây cũng song lập với nhau:

\(A\) và \(\overline{B}\), \(\overline{A}\) và \(B\), \(\overline{A}\) và \(\overline{B}\).

Ví dụ:

Gieo một con cái súc sắc bằng vận và đồng hóa học nhì thứ tự. Tính phần trăm những trở thành cố sau:

\(A:\) “Lần loại nhất xuất hiện tại mặt mày \(4\) chấm”

\(B:\) “Lần loại nhì xuất hiện tại mặt mày \(4\) chấm”

Từ ê suy đi ra nhì trở thành cố \(A\) và \(B\) song lập.

Hướng dẫn

Không gian tham mẫu: \(\Omega = \left\{ {\left( {i;j} \right),i,j \in \mathbb{Z},1 \le i \le 6,1 \le j \le 6} \right\}\)

\( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\).

Biến cố \(A:\) “Lần loại nhất xuất hiện tại mặt mày \(4\) chấm”

\(A = \left\{ {\left( {4;1} \right),\left( {4;2} \right),\left( {4;3} \right),\left( {4;4} \right),\left( {4;5} \right),\left( {4;6} \right)} \right\}\)

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 6\)

\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).

Biến cố \(B:\) “Lần loại nhì xuất hiện tại mặt mày \(4\) chấm”

\(B = \left\{ {\left( {1;4} \right),\left( {2;4} \right),\left( {3;4} \right),\left( {4;4} \right),\left( {5;4} \right),\left( {6;4} \right)} \right\}\)

\( \Rightarrow n\left( B \right) = 6\)

\( \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).

Gọi \(C = A.B\) là trở thành cố: “Cả nhì thứ tự đều xuất hiện tại mặt mày \(4\) chấm”.

Khi ê \(C = \left\{ {\left( {4;4} \right)} \right\}\)

\( \Rightarrow P\left( {A.B} \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{{36}}\).

Dễ thấy \(P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\) nên \(A,B\) là nhì trở thành cố song lập.

Loigiaihay.com

Xem thêm: bảng công thức lượng giác đầy đủ