tich phan

Bách khoa toàn thư há Wikipedia

Bạn đang xem: tich phan

Tích phân là 1 trong những định nghĩa toán học tập và cùng theo với nghịch tặc hòn đảo của chính nó vi phân (differentiation) vào vai trò là 2 phép tắc tính cơ phiên bản và chủ công vô nghành nghề dịch vụ giải tích (calculus). cũng có thể hiểu giản dị và đơn giản tích phân như thể diện tích S hoặc diện tích S tổng quát mắng hóa. Giả sử cần thiết tính diện tích S một hình bằng phẳng được bao bởi những đoạn trực tiếp, tao chỉ việc phân chia hình cơ trở nên những hình nhỏ giản dị và đơn giản rộng lớn và đã hiểu cách thức tính diện tích S như hình tam giác, hình vuông vắn, hình thang, hình chữ nhật... Tiếp theo dõi, xét một hình phức tạp rộng lớn tuy nhiên nó được bao bởi cả đoạn trực tiếp lẫn lộn lối cong, tao cũng phân chia nó trở nên những hình nhỏ rộng lớn, tuy nhiên lúc này sản phẩm đạt thêm những hình thang cong. Tích phân tạo điều kiện cho ta tính được diện tích S của hình thang cong cơ. Hoặc lý giải bởi toán học tập như sau: Cho một hàm f của một đổi thay thực x và một miền độ quý hiếm thực [a, b]. Như vậy một tích phân xác lập (definite integral) kể từ a cho tới b của f(x), ký hiệu là:

được khái niệm là diện tích S của một vùng vô không khí bằng phẳng xy được bao bởi vật thị của hàm f, trục hoành, và những đường thẳng liền mạch x = a và x = b, sao cho những vùng bên trên trục hoành sẽ tiến hành tính vô tổng diện tích S, còn bên dưới trục hoành sẽ ảnh hưởng trừ vô tổng diện tích S.

Ta gọi a là cận dưới của tích phân, còn b là cận trên của tích phân.

Cho F(x) là vẹn toàn hàm của f(x) vô (a, b). Khi cơ, tích phân cô động (indefinite integral) được viết lách như sau:

Nhiều khái niệm tích phân rất có thể được thi công phụ thuộc vào lý thuyết chừng đo (measure). Ví dụ, tích phân Riemann dựa vào chừng đo Jordan, còn tích phân Lebesgue dựa vào chừng đo Lebesgue. Tích phân Riemann là khái niệm giản dị và đơn giản nhất của tích phân và thông thường xuyên được dùng vô cơ vật lý và giải tích cơ phiên bản.

Lược sử tích phân[sửa | sửa mã nguồn]

Những phép tắc tính tích phân thứ nhất và được triển khai kể từ từ thời điểm cách đây bên trên 2.100 năm bởi Archimedes (287–212 trước Công nguyên), Khi ông tính diện tích S mặt phẳng và thể tích khối của một vài ba dường như hình cầu, hình parabol và hình nón. Phương pháp tính của Archimedes cực kỳ văn minh mặc dù vô thời ấy chưa tồn tại định nghĩa về đại số, hàm số hoặc thậm chí là cơ hội viết lách số dạng thập phân.

Tích phân, vi phân và môn toán học tập của những phép tắc tính này, giải tích, đang được đầu tiên được mày mò bởi Leibniz (1646–1716) và Isaac Newton (1642–1727). Ý tưởng chủ yếu là tích phân và vi phân là nhì phép tắc tính nghịch tặc hòn đảo của nhau. Sử dụng ông tơ tương tác kiểu dáng này, nhì căn nhà toán học tập đang được giải được một số trong những lượng lớn tưởng những Việc cần thiết vô toán học tập, cơ vật lý và thiên văn học tập.

J. B. Fourier (1768–1830) Khi phân tích sự truyền sức nóng đang được thăm dò đi ra chuỗi những dung lượng giác rất có thể dùng làm màn trình diễn nhiều hàm số không giống. Biến thay đổi Fourier (biến thay đổi kể từ hàm số trở nên chuỗi những dung lượng giác và ngược lại) và chuyển đổi tích phân thời buổi này được phần mềm cực kỳ rộng thoải mái không chỉ là vô khoa học tập cơ phiên bản mặc cả vô Y học tập, âm thanh và ngôn từ học tập.

Người thứ nhất lập bảng tra cứu giúp những tích phân tính sẵn là Gauss (1777–1855). Ông đang được cùng rất nhiều căn nhà toán học tập không giống phần mềm tích phân vô những Việc của toán học tập và cơ vật lý. Cauchy (1789–1857) không ngừng mở rộng tích phân quý phái cho tới số phức. Riemann (1826–1866) và Lebesgue (1875–1941) là những người dân tiền phong đặt điều nền tảng lô-gíc vững chãi cho tới khái niệm của tích phân.

Liouville (1809–1882) thi công một cách thức nhằm thăm dò coi lúc nào tích phân vô ấn định của hàm cơ phiên bản lại là 1 trong những hàm cơ phiên bản. Hermite (1822–1901) nhìn thấy một thuật toán nhằm tính tích phân cho những hàm phân thức. Phương pháp này và được không ngừng mở rộng cho những phân thức chứa chấp lô-ga-rít vô trong thời gian 1940 bởi A. M. Ostrowski.

Vào những năm vừa qua thời đại PC của thế kỷ đôi mươi, nhiều lý thuyết gom tính những tích phân không giống nhau đang không ngừng được cải cách và phát triển và phần mềm nhằm lập những bảng tra cứu giúp tích phân và chuyển đổi tích phân. Một số những căn nhà toán học tập góp sức cho tới việc làm này là G. N. Watson, E. C. Titchmarsh, E. W. Barnes, H. Mellin, C. S. Meijer, W. Grobner, N. Hofreiter, A. Erdelyi, L. Lewin, Y. L. Luke, W. Magnus, A. Apelblat, F. Oberhettinger, I. S. Gradshteyn, H. Exton, H. M. Srivastava, A. P.. Prudnikov, Ya. A. Brychkov, và O. I. Marichev.

Vào năm 1969, R. H. Risch đang được góp sức một cải cách và phát triển vượt lên bậc cho những thuật toán tính tích phân vô ấn định bởi dự án công trình của ông về lý thuyết tổng quát mắng và phần mềm vô tích phân những hàm cơ phiên bản. Phương pháp đang được ko thể được phần mềm tức thì cho tới từng hàm cơ phiên bản vì như thế cốt lõi của cách thức là giải một phương trình vi phân khá khó khăn. Những cải cách và phát triển thông liền của đa số căn nhà toán học tập không giống đã hỗ trợ giải được phương trình vi phân này cho tới nhiều loại hàm cơ phiên bản không giống nhau, càng ngày càng hoàn mỹ cách thức của Risch. Trong trong thời gian 1980 đang được với những tiến bộ cỗ không ngừng mở rộng cách thức này cho tất cả những hàm ko cơ phiên bản đặc trưng.

Từ những năm 1990 quay về trên đây, những thuật toán nhằm tính biểu thức tích phân vô ấn định được fake phó quý phái và tối ưu hoá cho tới đo lường và tính toán sử dụng máy tính năng lượng điện tử. Máy tính đã hỗ trợ vô hiệu hóa sơ sót quả đât, tạo thành kỹ năng tính mặt hàng ngàn tích phân mới mẻ ko khi nào xuất hiện nay trong những bảng tra cứu giúp. Một số ứng dụng PC thương nghiệp với kỹ năng tính biểu thức tích phân lúc bấy giờ là Mathematica, Maple,...

Xem thêm: ngành ngôn ngữ trung quốc học trường nào ở tphcm

Thuật ngữ và ký pháp[sửa | sửa mã nguồn]

Đối với tình huống giản dị và đơn giản nhất, tích phân của một hàm số thực f(x) bên trên x, được viết lách là:

Với:

Một số đặc điểm của tích phân[sửa | sửa mã nguồn]

[sửa | sửa mã nguồn]

Danh sách những tích phân cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]

Còn gọi là list của những vẹn toàn hàm của một số trong những hàm số thông thường gặp gỡ.^[1]

Phân loại tích phân[sửa | sửa mã nguồn]

Tích phân Riemann[sửa | sửa mã nguồn]

Có nhì dạng tích phân Riemann, tích phân xác lập (có cận bên trên và cận dưới) và tích phân cô động. Tích phân Riemann xác lập của hàm f(x) với x chạy trong vòng kể từ a (cận dưới) cho tới b (cận trên) được viết lách là:

Dạng cô động (không với cận) được viết lách là:

Theo ấn định lý cơ phiên bản loại nhất của giải tích, nếu như F(x) là tích phân cô động của f(x) thì f(x) là vi phân của F(x). Tích phân xác lập được xem kể từ tích phân cô động như sau:

Còn so với tích phân cô động, tồn bên trên đồng thời nhiều hàm số sai không giống nhau bởi hằng số tích phân C thoả mãn ĐK cùng theo với cộng đồng vi phân, chính vì vi phân của hằng số bởi 0:

Ngày ni biểu thức toán học tập của tích phân cô động rất có thể được xem cho tới nhiều hàm số tự động hóa sử dụng máy tính. Giá trị số của tích phân xác lập rất có thể được thăm dò bởi những cách thức số, trong cả Khi biểu thức toán học tập của tích phân cô động ứng ko tồn bên trên.

Định lý cơ phiên bản loại nhất của giải tích được thể hiện nay ở đẳng thức sau:

và

Tồn bên trên những hàm số tuy nhiên tích phân cô động của bọn chúng ko thể màn trình diễn bởi những hàm toán học tập cơ phiên bản. Dưới đấy là một vài ba ví dụ:

, , ,

Tích phân Lebesgue[sửa | sửa mã nguồn]

Một hàm được gọi là 1 trong những hàm giản dị và đơn giản nếu như tập luyện hình ảnh của chính nó là hữu hạn.^[2] Gọi những độ quý hiếm của tập luyện hình ảnh là và đặt điều , tao có

trong cơ là hàm thông tư của tập kết .

Gọi là 1 trong những chừng đo ko âm bên trên một không khí chừng đo và là 1 trong những hàm giản dị và đơn giản . Hàm là đo được Khi và chỉ Khi những tập kết là đo được.^[2] Tích phân của theo dõi chừng đo bên trên một tập luyện con cái đo được được khái niệm là

Nếu là 1 trong những hàm ko âm đo được, tao khái niệm .^[3]

Một hàm được gọi là khả tích Lebesgue nếu như . Ký hiệu và . Đây đều là những hàm ko âm. Thế thì tích phần của là

^[4]

Định lý Lebesgue về việc quy tụ đơn điệu[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý Lebesgue về việc quy tụ bị chặn[sửa | sửa mã nguồn]

Bổ đề Fatouer[sửa | sửa mã nguồn]

Các loại tích phân khác[sửa | sửa mã nguồn]

Ngoài tích phân Riemann và Lebesgue được dùng rộng thoải mái, còn tồn tại một số trong những loại tích phân không giống như:

Xem thêm: công thức tính nồng độ dung dịch

• Tích phân Riemann-Stieltjes, một không ngừng mở rộng của tích phân Riemann.
• Tích phân Lebesgue-Stieltjes, tổng quát mắng hóa tích phân Riemann-Stieltjes và Lebesgue, được cải cách và phát triển bởi Johann Radon.
• Tích phân Daniell
• Tích phân Haar
• Tích phân Henstock-Kurzweil
• Tích phân Itō và Stratonovich
• Tích phân Young

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

• Vi phân
• Giới hạn
• Hàm số
• Đạo hàm
• Tích phân đường
• Tích phân mặt

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

• Nguyễn Cam, Nguyễn Văn Phước. Phương pháp giải toán Giải tích 12 theo dõi công tác mới mẻ nhất (Tái phiên bản lượt 1). Nhà xuất phiên bản Đại học tập sư phạm,, TP Hà Nội 2011.
• Havil, J. (2003), Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press.
• Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. (1988), Methods of Mathematical Physics, 3rd ed., Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 29.
• Kaplan, W. (1992), Advanced Calculus, 4th ed., Reading, MA: Addison-Wesley.
• Toán học tập là gì?
• Walter, R. (1987), Real and Complex Analysis, intl edi., McGraw-Hill Education.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Wikimedia Commons đạt thêm hình hình ảnh và phương tiện đi lại truyền đạt về Tích phân.

• The Integrator by Wolfram Research
• Function Calculator from WIMS
• P.S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) - a cookbook of definite integral techniques

Sách trực tuyến[sửa | sửa mã nguồn]

• Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin
• Stroyan, K.D., A Brief Introduction vĩ đại Infinitesimal Calculus Lưu trữ 2005-09-11 bên trên Wayback Machine, University of Iowa
• Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book Lưu trữ 2006-04-15 bên trên Wayback Machine, CIT, an online textbook that includes a complete introduction vĩ đại calculus
• Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook
• Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus
• Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook
• Sloughter, Dan, Difference Equations vĩ đại Differential Equations, an introduction vĩ đại calculus
• Wikibook of Calculus
• Numerical Methods of Integration at Holistic Numerical Methods Institute