số tự nhiên là gì

By Admin 07/10/2023 0
Các số bất ngờ dùng làm kiểm đếm (một trái ngược táo, nhì trái ngược táo, phụ thân trái ngược táo....).

Trong toán học tập, những số tự động nhiên được dùng nhằm kiểm đếm (như vô "có sáu đồng xu bên trên bàn") và trật tự (như vô "đây là thành phố rộng lớn loại ba vô cả nước"). thường thì, những số bất ngờ rất có thể xuất hiện nay bên dưới dạng một cỗ mã thuận tiện (nhãn hoặc "tên"), tức là, tựa như những gì những ngôi nhà ngôn từ học tập gọi là số danh nghĩa, loại để nhiều hoặc toàn bộ những tính chất của một số trong những theo dõi nghĩa toán học tập. Tập phù hợp những số bất ngờ thông thường được kí hiệu vị kí hiệu .[1][2][3]

Trong chi phí chuẩn chỉnh của ISO 80000-2[4] và tư liệu giáo khoa chuẩn chỉnh của Việt Nam[5], số bất ngờ được khái niệm là những số nguyên vẹn ko âm 0, 1, 2, 3,... (đôi Lúc được ký hiệu công cộng là hình tượng , nhằm nhấn mạnh vấn đề rằng số 0 cũng rất được bao gồm), trong lúc những số không giống chính thức vị 1, ứng với những số nguyên vẹn dương 1, 2, 3,... (đôi Lúc được ký hiệu công cộng vị ký hiệu , , hoặc với nhấn mạnh vấn đề rằng số 0 bị nockout trừ).[6][7]

Bạn đang xem: số tự nhiên là gì

Các số bất ngờ là hạ tầng nhưng mà kể từ cơ nhiều tập trung số không giống rất có thể được kiến tạo bằng phương pháp há rộng: tập trung những số nguyên vẹn, được kiến tạo bằng phương pháp bao hàm (nếu ko có) thành phần trung tính 0 và một quy tắc nằm trong nghịch tặc hòn đảo ( − n ) cho từng số bất ngờ không giống nhau n ; tập trung những số hữu tỉ, bằng phương pháp bao hàm một nghịch tặc hòn đảo quy tắc nhân (1/n ) cho từng số nguyên vẹn không giống n (và cả tích của những quy tắc nghịch tặc hòn đảo này với những số nguyên); tập trung những số thực bằng phương pháp bao hàm với những số hữu tỉ những số lượng giới hạn của (hội tụ) sản phẩm Cauchy của những số hữu tỉ; những số phức, bằng phương pháp cùng theo với những số thực căn bậc nhì ko giải của trừ một (và cả tổng và tích của chúng),.... [a] [b] Những chuỗi không ngừng mở rộng này thực hiện cho những số bất ngờ được nhúng (nhận dạng) về mặt mày quy tắc trong số khối hệ thống số không giống.[8]

Các đặc điểm của số bất ngờ, ví dụ như tính phân tách không còn và phân phối của những số yếu tố, được phân tích vô lý thuyết số. Các yếu tố tương quan cho tới việc kiểm đếm và bố trí trật tự, ví dụ như phân vùng và liệt kê, được phân tích vô tổng hợp.

Theo ngôn từ thường thì, nhất là vô dạy dỗ đái học tập, số bất ngờ rất có thể được gọi là số đếm[9] nhằm loại trừ trực quan lại những số nguyên vẹn âm và số 0, và cũng nhằm so sánh tính tách rộc của quy tắc kiểm đếm với tính liên tiếp của quy tắc đo - một Điểm sáng nổi trội của số thực.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Thời cổ đại[sửa | sửa mã nguồn]

Xương Ishango (trưng bày bên trên Viện Khoa học tập Tự nhiên Hoàng gia Bỉ )[10][11][12] được cho rằng đã và đang được dùng đôi mươi.000 năm trước nhằm thực hiện những quy tắc tính số học tập với số bất ngờ.

Phương pháp nguyên vẹn thủy nhất nhằm trình diễn một số trong những bất ngờ là bịa một ký hiệu cho từng đối tượng người tiêu dùng. Sau cơ, một tập trung những đối tượng người tiêu dùng rất có thể được đánh giá coi đem đều bằng nhau, quá hoặc thiếu hụt — bằng phương pháp lưu lại và xóa một đối tượng người tiêu dùng ngoài tập trung cơ.

Bước tiến bộ rộng lớn trước tiên vô trừu tượng hóa là sự dùng những chữ số nhằm trình diễn những số lượng. Vấn đề này được cho phép những khối hệ thống được cải tiến và phát triển nhằm ghi con số rộng lớn. Người Ai Cập thượng cổ vẫn cải tiến và phát triển một khối hệ thống chữ số mạnh mẽ và tự tin với những chữ tượng hình riêng không liên quan gì đến nhau cho một, 10 và toàn bộ những quyền hạn của 10 cho tới rộng lớn 1 triệu. Một kiệt tác vấp tự khắc bên trên đá ở Karnak, đem niên đại khoảng tầm năm 1500 TCN và lúc này là chỉ bảo tàng Louvre ở Paris, tế bào miêu tả 276 như 2 trăm, 7 chục và 6 đơn vị; và tương tự động mang đến số 4,622. Người Babylon mang trong mình một khối hệ thống độ quý hiếm địa điểm về cơ bạn dạng dựa vào những chữ số cho một và 10, dùng cơ số sáu mươi, với hình tượng mang đến 60 kiểu như với hình tượng cho một — độ quý hiếm rõ ràng của chính nó được xác lập kể từ văn cảnh.[13]

Một tiến bộ cỗ nữa trong các công việc trừu tượng hóa số lượng tuy nhiên ra mắt trễ rộng lớn nhiều: cải tiến và phát triển phát minh thể hiện nay số không phải như là 1 trong số lượng với trình diễn số của riêng rẽ nó. Vào khoảng tầm 700 TCN, những người dân Babylon vẫn sử dụng chữ số ko vô khối hệ thống ký hiệu độ quý hiếm theo dõi địa điểm tuy nhiên một điều khá kỳ lạ là mãi cho tới khi nền văn hóa truyền thống Babylon cho tới hồi suy vi, người Babylon cũng chỉ biết sử dụng chữ số ko ở Một trong những số lượng (ví dụ: Lúc ghi chép số 3605 chúng ta biết bịa chữ số ko vô giữa), và chữ số này vẫn ko lúc nào được dùng nhằm thực hiện chữ số sau cuối của một số[14] (ví dụ: người Babylon thể hiện nay số 3600 và 60 như nhau - người Babylon sử dụng hệ cơ số 60 - nhằm phân biệt đâu là 3600 và 60 chúng ta nên kèm cặp thêm 1 chú mến vị điều ở dưới[15]). Các nền văn minh Olmec và Maya vẫn sử dụng số không phải như là 1 trong số lượng riêng rẽ kể từ khoảng tầm thế kỷ loại 1 TCN (dường như được cải tiến và phát triển một cơ hội độc lập), tuy vậy việc dùng này dường như không được thông dụng ra bên ngoài vùng Trung Sở châu Mỹ[16][17]. Khái niệm số ko nhưng mà tất cả chúng ta lúc bấy giờ vẫn sử dụng xuất phát điểm từ ngôi nhà toán học tập đè Độ Brahmagupta vô năm 628. Mặc dầu số ko vẫn được sử dụng như 1 số lượng vị toàn bộ những ngôi nhà đo lường và tính toán thời Trung Cổ (dùng nhằm tính ngày Phục Sinh) nhưng mà khởi điểm là Dionysius Exiguus vô năm 525, tuy nhiên nhìn toàn diện vẫn không tồn tại một chữ số La Mã nào là được thích hợp nhằm ghi chép số ko. Thay nên là, thời cơ người tao sử dụng kể từ Latinh là nullae, đem nghĩa là"không đem gì"để chỉ số ko.[18]

Người tao thông thường coi những ngôi nhà triết học tập Hy Lạp Pythagore và Archimedes là những người dân trước tiên bịa yếu tố phân tích một cơ hội khối hệ thống về những số lượng như là 1 trong thực thể trừu tượng. Tuy nhiên, nằm trong thời kỳ cơ, một số trong những điểm như đè Độ, Trung Quốc và Trung Sở châu Mỹ cũng có thể có những phân tích song lập tương tự động.[19]

Các khái niệm hiện nay đại[sửa | sửa mã nguồn]

Ở châu Âu thế kỷ 19, vẫn đem cuộc thảo luận toán học tập và triết học tập về thực chất đúng chuẩn của những số bất ngờ. Một phe cánh của công ty nghĩa bất ngờ tuyên phụ thân rằng những số bất ngờ là hệ trái ngược thẳng của tư tưởng nhân loại. Henri Poincaré là 1 trong trong mỗi người cỗ vũ nó, tương tự Leopold Kronecker, người vẫn tóm lược niềm tin tưởng của tớ là "Chúa dẫn đến những số nguyên vẹn, toàn bộ những loại không giống là kiệt tác của con cái người". [c]

Đối lập với những ngôi nhà Tự nhiên học tập, những ngôi nhà toán học tập thiết kế thấy rất cần được nâng cao tính nghiêm ngặt logic vô nền tảng của toán học tập. [d] Vào trong thời gian 1860, Hermann Grassmann khuyến nghị một khái niệm đệ quy cho những số bất ngờ, vì thế bảo rằng bọn chúng ko thực sự là bất ngờ - nhưng mà là hệ trái ngược của những khái niệm. Sau cơ, nhì lớp khái niệm đầu tiên vì vậy đã và đang được xây dựng; về sau, bọn chúng vẫn được minh chứng là tương tự vô đa số những phần mềm thực tiễn.

Các khái niệm lý thuyết tập trung về số bất ngờ được Frege thủ xướng. Ban đầu, ông khái niệm một số trong những bất ngờ là lớp của toàn bộ những tập trung ứng đối kháng với cùng 1 tập trung rõ ràng. Tuy nhiên, khái niệm này hóa rời khỏi lại kéo đến những nghịch tặc lý, bao hàm cả nghịch tặc lý Russell. Để tách những nghịch tặc lý vì vậy, quy tắc mẫu mã hóa đã và đang được sửa thay đổi nhằm một số trong những bất ngờ được khái niệm là 1 trong tập trung rõ ràng và ngẫu nhiên tập trung nào là rất có thể được đi vào ứng đối kháng với tập trung này được cho rằng đem số thành phần cơ.[22]

Loại khái niệm loại nhì được Charles Sanders Peirce thể hiện, được Richard Dedekind tinh ranh chỉnh, và được Giuseppe Peano tò mò thêm; cách thức này lúc này được gọi là số học tập Peano. Nó dựa vào định đề về những đặc điểm của số loại tự : từng số bất ngờ mang trong mình một sau đó và từng số bất ngờ không giống 0 đều phải có một nhiệm kỳ trước đó có một không hai. Số học tập Peano tương tự với một số trong những khối hệ thống yếu đuối của lý thuyết tập trung. Một trong mỗi khối hệ thống vì vậy là ZFC với định đề về vô hạn được thay cho thế vị sự phủ lăm le của chính nó. Các lăm le lý rất có thể được minh chứng vô ZFC tuy nhiên ko thể được minh chứng bằng phương pháp dùng Tiên đề Peano bao hàm lăm le lý Goodstein.[23]

Với toàn bộ những khái niệm qua quýt tập trung này, thiệt tiện lợi Lúc bao hàm cả số 0 (tương ứng với tập dượt trống rỗng ) vô tập trung số bất ngờ. Bao bao gồm cả số 0 hiện nay là quy ước công cộng Một trong những ngôi nhà lý thuyết tập dượt hợp[24] và những ngôi nhà logic học tập.[25] Các ngôi nhà toán học tập không giống cũng bao hàm cả 0, và những ngôn từ PC thông thường chính thức kể từ 0 Lúc liệt kê những mục như cỗ kiểm đếm vòng lặp và thành phần chuỗi hoặc mảng.[26][27] Mặt không giống, nhiều ngôi nhà toán học tập vẫn lưu giữ truyền thống cuội nguồn cũ rộng lớn nhằm lấy một là số bất ngờ trước tiên.[28]

Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Các ngôi nhà toán học tập sử dụng ký hiệu N hoặc ℕ cho tập trung toàn bộ những số tự động nhiên[29][30][31]. Một số văn bạn dạng cũ cũng đôi lúc sử dụng kí hiệu J cho tập trung này.[32] Theo khái niệm, tập trung vô hạn và kiểm đếm được, tức lực lượng của tập trung số bất ngờ là ℵ0

Ký hiệu N hoa nhì gạch ốp được dùng làm chỉ tập trung số bất ngờ (xem list ký hiệu toán học)

Vì những tính chất không giống nhau thông thường được link với những mã thông tin 0 và 1 (tương ứng là những thành phần trung tính được cho phép nằm trong và quy tắc nhân), điều cần thiết là phải ghi nhận phiên bạn dạng số tự nhiên nào được dùng vô tình huống đang được kiểm tra. Vấn đề này rất có thể được tiến hành bằng phương pháp phân tích và lý giải vị văn xuôi, bằng phương pháp ghi chép rời khỏi tập trung một cơ hội rõ rệt hoặc bằng phương pháp lăm le danh số nhận dạng công cộng vị chỉ số ghi chép lên bên trên hoặc chỉ số ghi chép xuống bên dưới,[33][34] ví dụ điển hình như vậy này:

Đôi Lúc một số trong những người sáng tác sử dụng chỉ số bên dưới hoặc chỉ số trên"+"để ám chỉ khái niệm"dương"của số bất ngờ, tức là N+ hoặc N+ = { 1, 2,... }. Thế tuy nhiên, cần thiết cẩn trọng với ký hiệu loại này, vì thế vô một số trong những tình huống không giống, tối thiểu là so với phe cánh toán châu Âu, ký hiệu đó lại ám chỉ mang đến khái niệm"không âm", lấy ví dụ: R+ = [0,∞) hoặc Z+ = { 0, 1, 2,...}. Trong Lúc cơ, ký hiệu * là chuẩn chỉnh mực sử dụng mang đến khái niệm"khác số không"hay tổng quát mắng rộng lớn là sử dụng cho 1 thành phần rất có thể nghịch tặc hòn đảo được. Tài liệu giáo khoa chuẩn chỉnh của Việt Nam[5], cũng sử dụng ký hiệu N*.

Thuộc tính[sửa | sửa mã nguồn]

Phép cộng[sửa | sửa mã nguồn]

Cho tập trung của những số bất ngờ và hàm thừa kế ánh xạ từng số bất ngờ mang đến một số trong những tiếp theo sau, người tao rất có thể khái niệm quy tắc với những số bất ngờ một cơ hội đệ quy bằng phương pháp bịa a + 0 = a và a + S(b) = S(a + b) với từng a, b. Khi cơ (ℕ, +) là 1 trong monoid gửi gắm hoán với thành phần đơn vị chức năng là 0. Nó là 1 trong monoid tự tại bên trên thành phần sinh là một. Monoid gửi gắm hoán này vừa lòng tính chất bỏ vứt, nên là nó rất có thể được nhúng vô một group. Nhóm nhỏ nhất chứa chấp những số bất ngờ là những số nguyên vẹn.

Xem thêm: theo quy định của pháp luật công dân bình đẳng trước nhà nước và xã hội khi thực hiện nghĩa vụ

Nếu 1 được xác lập là S(0), thì b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b). Có tức là, b + 1 giản dị là thành phần thừa kế của b.

Định nghĩa hình thức[sửa | sửa mã nguồn]

Trong lịch sử vẻ vang, quy trình thể hiện một khái niệm toán học tập đúng chuẩn về số bất ngờ là 1 trong quy trình nhiều trở ngại. Các tiên đề Peano thể hiện những ĐK tiên quyết cho 1 khái niệm thành công xuất sắc về số bất ngờ. Một số quy tắc kiến tạo đã cho thấy rằng, với lý thuyết tập trung vẫn biết, những quy mô của những tiên đề Peano chắc chắn là tồn bên trên.

Các định đề Peano[sửa | sửa mã nguồn]

  • Có một số trong những bất ngờ 0.
  • Với từng số bất ngờ a, tồn bên trên một số trong những bất ngờ ngay lập tức sau, ký hiệu là S(a).
  • Không đem số bất ngờ nào là nhưng mà số ngay lập tức sau của chính nó là 0.
  • Hai số bất ngờ không giống nhau nên đem nhì số ngay lập tức sau ứng không giống nhau: nếu như a ≠ b thì S(a) ≠ S(b).
  • Nếu mang trong mình một đặc điểm nào là này được vừa lòng với số 0, và tất cả chúng ta minh chứng được rằng với từng số bất ngờ thỏa đặc điểm cơ thì số ngay lập tức sau của chính nó cũng thỏa đặc điểm cơ, Lúc cơ, đặc điểm này được vừa lòng với từng số bất ngờ. (Định đề này đảm nói rằng quy tắc quy hấp thụ toán học tập là đích thị.)

Cần chú ý rằng "0" ở khái niệm bên trên ko nhất thiết nên là số ko nhưng mà tất cả chúng ta vẫn thông thường nói đến việc."0" ở trên đây chẳng qua quýt là 1 trong đối tượng người tiêu dùng nào là này mà Lúc kết phù hợp với một hàm ngay lập tức sau nào là cơ thì tiếp tục vừa lòng những định đề Peano. Có nhiều khối hệ thống vừa lòng những định đề này, vô cơ đem những số bất ngờ (bắt đầu thông qua số ko hoặc thông qua số một).

Xây dựng dựa vào lý thuyết tập dượt hợp[sửa | sửa mã nguồn]

Phép kiến tạo chuẩn[sửa | sửa mã nguồn]

Trong lý thuyết tập trung mang trong mình một tình huống quan trọng đặc biệt của quy tắc kiến tạo von Neumann khái niệm tập trung số bất ngờ như sau:

Chúng tao khái niệm 0 = { }, tập trung rỗng
và khái niệm S(a) = a ∪ {a} với từng a.
Sau cơ tập trung số bất ngờ được định nghĩa là gửi gắm của toàn bộ những tập trung chứa chấp 0 nhưng mà là những tập dượt đóng góp so với hàm ngay lập tức sau.
Nếu tất cả chúng ta quá nhận định đề về tính chất vô hạn thì tiếp tục minh chứng được khái niệm này vừa lòng những định đề Peano.
Mỗi số bất ngờ Lúc cơ vị tập trung của những số bất ngờ nhỏ rộng lớn nó, sao cho:
  • 0 = { },
  • 1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }},
  • 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}},
  • 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}},
  • n = n−1 ∪ {n−1} = {0, 1, …, n−1} = {{ }, {{ }}, …, {{ }, {{ }}, …}}, vân vân

Khi tao thấy một số trong những bất ngờ được sử dụng như là 1 trong tập trung, thì thường thì, chân thành và ý nghĩa của chính nó như được trình diễn phía trên. Theo khái niệm cơ, đem đích thị n thành phần (theo nghĩa thông thường) vô tập dượt n và n ≤ m (cũng theo dõi nghĩa bình thường) Lúc và chỉ Lúc n là 1 trong tập dượt con cái của m.

Cũng kể từ khái niệm này, những cơ hội hiểu không giống nhau về những ký hiệu như ℝn (là một n-tuple hoặc là 1 trong ánh xạ kể từ n vô ℝ)) trở thành tương tự nhau.

Các quy tắc kiến tạo khác[sửa | sửa mã nguồn]

Mặc mặc dù quy tắc kiến tạo chuẩn chỉnh thông thườn tuy nhiên nó ko nên là quy tắc kiến tạo có một không hai. Ví dụ về quy tắc dựng của Zermalo:

có thể khái niệm 0 = { }
và S(a) = a,
tạo ra
  • 0 = { }
  • 1 = {0} = {{ }}
  • 2 = {1} = {{{ }}},...

Hay tất cả chúng ta rất có thể khái niệm 0 = {{ }}

và {{{1}}}}
tạo ra
  • 0 = {{ }}
  • 1 = {{ }, 0} = {{ }, {{ }}}
  • 2 = {{ }, 0, 1},...

Có thể vẫn tồn tại giành giật cãi, tuy nhiên nhìn toàn diện người tao thông thường gán khái niệm đem tính lý thuyết tập trung xưa nhất về số bất ngờ mang đến Frege và Russell. Trong khái niệm của nhì người này thì từng số bất ngờ n rõ ràng được khái niệm là tập trung của toàn bộ những tập dượt đem n thành phần.

Frege và Rusell chính thức bằng phương pháp khái niệm 0 là (rõ ràng đấy là tập dượt của toàn bộ những tập dượt đem 0 phần tử) và khái niệm (với A là 1 trong tập dượt bất kỳ) là . Như vậy 0 được xem là tập dượt của toàn bộ những tập dượt đem 0 thành phần, được xem là tập dượt của toàn bộ những tập dượt mang trong mình một thành phần, được xem là tập dượt của toàn bộ những tập dượt đem 2 thành phần, và cứ thế. Sau cơ, tập trung của toàn bộ những số bất ngờ được khái niệm như thể phần gửi gắm của toàn bộ những tập dượt đem chứa chấp 0 và là tập dượt đóng góp với quy tắc (tức là nếu như tập dượt này chứa chấp thành phần n) thì nó cũng nên chứa chấp ).

Định nghĩa này sẽ không còn sử dụng được trong mỗi khối hệ thống thường thì của lý thuyết tập trung định đề vì thế những tập dượt được dẫn đến vì vậy quá to (nó sẽ không còn sử dụng được vô ngẫu nhiên lý thuyết tập trung nào là với định đề tách - separation axiom); tuy nhiên khái niệm này tiếp tục thao tác được vô Cửa hàng Mới (New Foundations) (và trong số khối hệ thống tương mến với Cửa hàng Mới) và vô một vài ba khối hệ thống của lý thuyết loại.

Trong phần còn sót lại của bài xích này, tất cả chúng ta dùng quy tắc kiến tạo chuẩn chỉnh vẫn tế bào miêu tả phía trên.

Các quy tắc toán bên trên tập trung số tự động nhiên[sửa | sửa mã nguồn]

Các quy tắc toán bên trên tập trung những số bất ngờ rất có thể khái niệm nhờ quy tắc đệ quy như sau

Phép cộng[sửa | sửa mã nguồn]

  1. a + 0 = a
  2. a + S(b) = S(a + b)
Phép nằm trong này khiến cho (ℕ, +) trở nên một vị group gửi gắm hoán với thành phần trung lập là 0, cũng là 1 trong vị group tự tại với cùng 1 hệ sinh nào là cơ. Vị group thỏa đặc điểm khử và vì thế rất có thể được nhúng vô một group. Nhóm nhỏ nhất chứa chấp những số bất ngờ là số nguyên vẹn.

Nếu tất cả chúng ta ký hiệu S(0) là một, Lúc cơ b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b); tức là, số ngay lập tức sau của b chẳng qua quýt là b + 1.

Phép nhân[sửa | sửa mã nguồn]

Tương tự động như quy tắc nằm trong, tất cả chúng ta khái niệm quy tắc nhân × như sau

  1. a × 0 = 0
  2. a × S(b) = (a × b) + a
Phép nhân được khái niệm vì vậy khiến cho (N,×) trở nên một vị group với thành phần trung lập là 1; một hệ sinh của vị group này đó là tập trung những số yếu tố.
Phép nằm trong và quy tắc nhân thỏa đặc điểm phân phối: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).
Các đặc điểm nhưng mà quy tắc nằm trong và quy tắc nhân thỏa khiến cho tập dượt số bất ngờ trở nên một tình huống ví dụ của nửa vòng gửi gắm hoán. Nửa vòng là dạng tổng quát mắng hóa đại số của số bất ngờ nhưng mà vô cơ quy tắc nhân không nhất thiết phải thỏa tính gửi gắm hoán.

Nếu tất cả chúng ta hiểu tập trung số bất ngờ theo dõi nghĩa"không đem số 0"và"bắt đầu thông qua số 1"thì những khái niệm về quy tắc + và × cũng vẫn thế, nước ngoài trừ sửa lại a + 1 = S(a) và a × 1 = a.

Trong phần còn sót lại của bài xích này, tất cả chúng ta ghi chép ab nhằm ám chỉ tích a × b, và tất cả chúng ta cũng tiếp tục quá nhận quy lăm le về trật tự tiến hành những quy tắc toán.

Quan hệ loại tự[sửa | sửa mã nguồn]

Chúng tao rất có thể khái niệm một mối quan hệ trật tự toàn phần bên trên tập dượt số bất ngờ như sau:

Với nhì số bất ngờ a,b, tao đem a ≤ b nếu như và chỉ nếu như tồn bên trên một số trong những bất ngờ c sao mang đến a + c = b. Kiểu chuẩn bị trật tự này cùng theo với những quy tắc toán số học tập vẫn khái niệm phía trên mang đến ta:
Nếu a, b và c là những số bất ngờ và a ≤ b, thì a + c ≤ b + c và ac ≤ bc
Tập số bất ngờ còn tồn tại một đặc điểm cần thiết nữa là bọn chúng là tập dượt chuẩn bị tốt: từng tập dượt ko trống rỗng của những số bất ngờ nên mang trong mình một thành phần nhỏ nhất.

Phép phân tách đem dư và tính phân tách hết[sửa | sửa mã nguồn]

Cho nhì số bất ngờ a, b và b ≠ 0. Xét tập trung M những số bất ngờ p sao mang đến pb ≤ a. Tập này bị ngăn nên mang trong mình một thành phần lớn số 1, gọi thành phần lớn số 1 của M là q. Khi cơ bq ≤ a và b(q + 1) > a. Đặt r = a − bq. Khi cơ tao có

Xem thêm: vật lý 8 bài 8

a = bq + r, vô cơ 0 ≤ r < b.

Có thể minh chứng rằng những số q và r là có một không hai. Số q được gọi là thương hụt (hay vắn tắt là thương), số r được gọi là số dư Lúc phân tách a mang đến b. Nếu r = 0 thì a = bq. Khi cơ tao bảo rằng a phân tách không còn mang đến b hoặc b là ước của a, a là bội của b.

Tổng quát mắng hóa[sửa | sửa mã nguồn]

Với nhì phía dùng như vẫn nêu ở trong phần trình làng, số bất ngờ trước không còn được tổng quát mắng hóa theo dõi nhì phía dùng này: số trật tự được dùng làm tế bào miêu tả địa điểm của một thành phần vô một sản phẩm chuẩn bị trật tự và bạn dạng số dùng làm xác lập độ dài rộng của một tập trung nào là cơ.

Trong tình huống sản phẩm hữu hạn hoặc tập trung hữu hạn, cả nhì cơ hội dùng này thực tế là tương đồng cùng nhau.

Các tập trung số[sửa | sửa mã nguồn]

Tập phù hợp số thực
: Tập phù hợp số tự động nhiên
: Tập phù hợp số nguyên
: Tập phù hợp số hữu tỉ
= : Tập phù hợp số vô tỉ
: Tập phù hợp số thực

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Mendelson (2008, tr. x) says: "The whole fantastic hierarchy of number systems is built up by purely set-theoretic means from a few simple assumptions about natural numbers." (Preface(trx))
  2. ^ Bluman (2010, tr. 1): "Numbers làm đẹp the foundation of mathematics."
  3. ^ The English translation is from Gray. In a footnote, Gray attributes the German quote to: "Weber 1891–1892, 19, quoting from a lecture of Kronecker's of 1886."[20][21]
  4. ^ "Much of the mathematical work of the twentieth century has been devoted vĩ đại examining the logical foundations and structure of the subject." (Eves 1990, tr. 606)

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ “Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (bằng giờ đồng hồ Anh). 1 mon 3 năm 2020. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  2. ^ Weisstein, Eric W. “Natural Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  3. ^ “Natural Numbers”. Brilliant Math & Science Wiki (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  4. ^ “ISO 80000-2:2009”. International Organization for Standardization.
  5. ^ a b Toán lớp 6 tập dượt 1 - Nhà Xuất bạn dạng Giáo dục đào tạo 2004
  6. ^ “Comprehensive List of Algebra Symbols”. Math Vault (bằng giờ đồng hồ Anh). 25 mon 3 năm 2020. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020..
  7. ^ “natural number”. Merriam-Webster.com. Merriam-Webster. Bản gốc tàng trữ ngày 13 mon 12 năm 2019. Truy cập ngày 4 mon 10 năm 2014.
  8. ^ Number Systems and the Foundations of Analysis nói:"The whole fantastic hierarchy of number systems is built up by purely set-theoretic means from a few simple assumptions about natural numbers."(Preface, p. x)
  9. ^ Weisstein, Eric W., "Counting Number" kể từ MathWorld.
  10. ^ “Introduction”. Ishango bone. Brussels, Belgium: Royal Belgian Institute of Natural Sciences. Bản gốc tàng trữ ngày 4 mon 3 năm năm nhâm thìn.
  11. ^ “Flash presentation”. Ishango bone. Royal Belgian Institute of Natural Sciences. Bản gốc tàng trữ ngày 27 mon 5 năm năm nhâm thìn.
  12. ^ “The Ishango Bone, Democratic Republic of the Congo”. UNESCO's Portal vĩ đại the Heritage of Astronomy. Bản gốc tàng trữ ngày 10 mon 11 năm năm trước., on permanent display at the Royal Belgian Institute of Natural Sciences, Brussels, Belgium.
  13. ^ Ifrah, Georges (2000). The Universal History of Numbers. Wiley. ISBN 0-471-37568-3.
  14. ^ ... một tấm tự khắc nhìn thấy ở Kish... vào tầm khoảng năm 700 TCN, sử dụng phụ thân vệt móc nhằm ký hiệu một địa điểm rỗng tuếch vô khối hệ thống ký hiệu có mức giá trị theo dõi địa điểm. Một số tấm tự khắc không giống cũng rất được dẫn đến nằm trong thời hạn sử dụng một vệt móc nhằm ký hiệu một địa điểm rỗng tuếch. [1]
  15. ^ G.N. Becman. Số và khoa học tập về số (tiếng Nga)-bản dịch giờ đồng hồ Việt của Nguyễn Hữu Trương và Thế Trường. Nhà Xuất bạn dạng Giáo dục đào tạo 2003, trang 29
  16. ^ Mann, Charles C. (2005). 1491: New Revelations of the Americas before Columbus. Knopf. tr. 19. ISBN 978-1-4000-4006-3. Bản gốc tàng trữ ngày 14 mon 5 năm 2015. Truy cập ngày 3 mon hai năm 2015 – qua quýt Google Books.
  17. ^ Evans, Brian (2014). “Chapter 10. Pre-Columbian Mathematics: The Olmec, Maya, and Inca Civilizations”. The Development of Mathematics Throughout the Centuries: A brief history in a cultural context. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-85397-9 – qua quýt Google Books.
  18. ^ Deckers, Michael (25 mon 8 năm 2003). “Cyclus Decemnovennalis Dionysii – Nineteen year cycle of Dionysius”. Hbar.phys.msu.ru. Lưu trữ bạn dạng gốc ngày 15 mon một năm 2019. Truy cập ngày 13 mon hai năm 2012.
  19. ^ Kline, Morris (1990) [1972]. Mathematical Thought from Ancient vĩ đại Modern Times. Oxford University Press. ISBN 0-19-506135-7.
  20. ^ Gray, Jeremy (2008). Plato's Ghost: The modernist transformation of mathematics. Princeton University Press. tr. 153. ISBN 978-1-4008-2904-0. Lưu trữ bạn dạng gốc ngày 29 mon 3 năm 2017 – qua quýt Google Books.
  21. ^ Weber, Heinrich L. (1891–1892). “Kronecker”. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung [Annual report of the German Mathematicians Association]. tr. 2:5–23. (The quote is on p. 19). Bản gốc tàng trữ ngày 9 mon 8 năm 2018; “access vĩ đại Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung”. Bản gốc tàng trữ ngày đôi mươi mon 8 năm 2017.
  22. ^ Eves 1990
  23. ^ Kirby, Laurie; Paris, Jeff (1982). “Accessible Independence Results for Peano Arithmetic”. Bulletin of the London Mathematical Society. Wiley. 14 (4): 285–293. doi:10.1112/blms/14.4.285. ISSN 0024-6093.
  24. ^ Bagaria, Joan (2017). Set Theory . The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Bản gốc tàng trữ ngày 14 mon 3 năm 2015. Truy cập ngày 13 mon hai năm 2015.
  25. ^ Goldrei, Derek (1998). “3”. Classic Set Theory: A guided independent study . Boca Raton, Fla. [u.a.]: Chapman & Hall/CRC. tr. 33. ISBN 978-0-412-60610-6.
  26. ^ Brown, Jim (1978). “In defense of index origin 0”. ACM SIGAPL APL Quote Quad. 9 (2): 7. doi:10.1145/586050.586053.
  27. ^ Hui, Roger. “Is index origin 0 a hindrance?”. jsoftware.com. Lưu trữ bạn dạng gốc ngày đôi mươi mon 10 năm 2015. Truy cập ngày 19 mon một năm 2015.
  28. ^ This is common in texts about Real analysis. See, for example, Carothers (2000, tr. 3) or Thomson, Bruckner & Bruckner (2000, tr. 2).
  29. ^ “Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (bằng giờ đồng hồ Anh). 1 mon 3 năm 2020. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  30. ^ Weisstein, Eric W. “Natural Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  31. ^ “Listing of the Mathematical Notations used in the Mathematical Functions Website: Numbers, variables, and functions”. functions.wolfram.com. Truy cập ngày 27 mon 7 năm 2020.
  32. ^ Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. tr. 25. ISBN 978-0-07-054235-8.
  33. ^ “Standard number sets and intervals”. ISO 80000-2:2009. International Organization for Standardization. tr. 6.
  34. ^ Grimaldi, Ralph Phường. (2004). Discrete and Combinatorial Mathematics: An applied introduction (ấn bạn dạng 5). Pearson Addison Wesley. ISBN 978-0-201-72634-3.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số bất ngờ bên trên MathWorld.