nguyên hàm của ln

1. Khái niệm nguyên vẹn hàm lnx

Bạn đang xem: nguyên hàm của ln

Ta sở hữu hàm số $f(x)$ xác lập bên trên K. Hàm số $f(x)$ đó là nguyên vẹn hàm của hàm số $f(x)$ bên trên K nếu như $f'(x)=f(x)$ với $x\in K$. Nguyên hàm của $lnx$ sẽ tiến hành tính như sau:

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=lnx\\dv=dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=\frac{1}{x}dx\\v=x \end{matrix}\right.$

Ta có $\int lnxdx=xlnx-\int dx'=xlnx-x+C$

2. Bảng công thức nguyên hàm của ln(x)

Ta sở hữu bảng công thức nguyên hàm In x và một số trong những nguyên vẹn hàm cơ phiên bản thông thường bắt gặp.

3. Cách tính nguyên vẹn hàm lnx

3.1. Nguyên hàm ln(x+1)

Ví dụ 1: Với $\int_{1}^{2}ln(x+1)dx=aln3+bln2+c$, nhập cơ a, b, c là những số nguyên vẹn. Tính S=a+b=c.

Giải:

Đặt  $\left\{\begin{matrix}u=ln(x+1)\\dv=dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=\frac{1}{x+1}dx\\v=x+1 \end{matrix}\right.$

Lúc này tớ có:

$\int_{1}^{2}ln(x+1)dx= (x+1)ln(x+1)\left|\begin{matrix}
2\\1 \end{matrix}\right.-\int_{1}^{2}dx=3ln3-2ln2-1$

Như vậy: a=3; b=-2; c=-1

$\Rightarrow$ S=a+b+c=0

Ví dụ 2: Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số sau: $B=x^2Inxdx$

Giải: 

B=$\int x^{2}lnxdx=\int lnxd(\frac{x^{3}}{3})$

=$\frac{x^{3}}{3}lnx-\int \frac{x^{3}}{3}.d(lnx)$

=$\frac{x^{3}}{3}lnx-\int \frac{x^{3}}{3}.\frac{dx}{3}=\frac{x^{3}}{3}lnx-\frac{x^{3}}{9}+C$

Nắm hoàn toàn kiến thức và kỹ năng về nguyên vẹn hàm và những kiến thức và kỹ năng Toán ganh đua trung học phổ thông Quốc Gia không giống với cỗ bí mật độc quyền của VUIHOC ngay!

3.2. Nguyên hàm 1+ln/x

Ví dụ 1:

Tìm nguyên vẹn hàm J=$\int \frac{(lnx+1)lnx}{(lnx+1+x)}dx$

Giải:

Ta có: J=$\int \frac{lnx+1}{x(\frac{lnx+1}{x}+1)}^{3}.\frac{lnx}{x^{2}}dx$

Đặt t=$\frac{lnx+1}{x}\Rightarrow dt=\frac{lnx}{x^{2}}dx \Rightarrow J=\int \frac{tdt}{(t+1)^{3}}=\int [\frac{1}{(t+1)^{3}}-\frac{1}{(t+1)^{2}}]dt$

=$-\frac{1}{2(t+1)^{2}}+\frac{1}{t+1}+C$

=$-\frac{x^{2}}{2(lnx+1+x^{2})}+\frac{x}{lnx+x+1}+C$

Ví dụ 2: Tìm nguyên vẹn hàm của:

a) ∫x.2x dx

b) ∫(x2-1) ex dx

Giải:

a) Đặt $\left\{\begin{matrix}u=x\\dv=2^{x}dx\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=dx\\v=\frac{2^{x}}{ln2}. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$

Ta có: $\int x2^{x}dx=\frac{x.2^{x}}{ln2}-\int \frac{2^{x}}{ln2}dx=\frac{x.2^{x}}{ln2}-\frac{2^{x}}{ln^{2}2}+C$

b) Đặt $\left\{\begin{matrix}u=x^{2}-1\\dv=e^{x}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=2xdx\\v=e^{x}dx \end{matrix}\right.$

Suy đi ra tớ có $\int f(x)dx=(x2-1)ex-\int 2x.ex$ dx

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=2x\\dv=e^{x}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=2dx\\v=e^{x}dx \end{matrix}\right.$

Ví dụ 3: Tìm toàn bộ những nguyên vẹn hàm của hàm số $f(x)=(3x^{2}+1).lnx$

A. $\int f(x)dx=x(x^{2}+1)lnx-\frac{x^{3}}{3}+C$

B. $\int f(x)dx=x^{3}lnx-\frac{x^{3}}{3}+C$

C. $\int f(x)dx=x(x^{2}+1lnx-\frac{x^{3}}{3}-x+C$

D. $\int f(x)dx=x^{3}lnx-\frac{x^{3}}{3}-x+C$

Giải:

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=lnx\\dv=(3x^{2}+1)dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=\frac{1}{x}dx\\v=\int (3x^{2}+1)dx=x^{3}+x \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I=(x^{3}+x)lnx-\int (x^{3}+x)\frac{1}{x}dx=x(x^{2}+1)lnx-\int (x^{2}+1)dx=x(x^{2}+1lnx-\frac{x^{3}}{3}-x+C.$

=> Đáp án C.

3.3. Nguyên hàm của ln(ax+b)

Ví dụ 1:

Bất phương trình $In(2x^2+3)>In(x^2+ax+1)$ nghiệm trúng với từng số thực khi?

Giải:

Ví dụ 2: Tính nguyên vẹn hàm:

a) $\int 2xln(x-1)dx$

b) $\int \frac{ln(x+1)}{x^{2}}$

Giải:

a) Đặt $\left\{\begin{matrix}u=ln(x-1)\\dv=2xdx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=\frac{1}{x-1}dx\\v=x^{2}-1 \end{matrix}\right.$

Ta có $\int 2xln(x-1)dx$

=$(x^{2}-1)ln(x-1)-\int (x+1)dx$

=$(x^{2}-1)ln(x-1)-\int (x+1)dx$

=$(x^{2}-1)ln(x-1)-\frac{x^{2}}{2}-x+C$

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=ln(1+x)\\dv=\frac{1}{x^{2}}dt\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=\frac{1}{(1+x)}dx\\v=-\frac{1}{x}-1=-\frac{1+x}{x} \end{matrix}\right.$

=> $F(x)=-\frac{1+x}{x}.ln(1+x)+\int \frac{1}{x}dx$

= $-\frac{1+x}{x}ln(1+x)+ln|x|+C$

3.4. Nguyên hàm của ln(x^2+1)dx

Ví dụ 1:

Tìm nguyên vẹn hàm I=$xIn(x^2+1)x2+1dx$

Giải:

Ví dụ 2:

Cho $\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx=aln2+bln3$, với a và b là những số hữu tỉ. Tính P=ab

A. P=$\frac{3}{2}$

B. P=0

C. P=$\frac{-9}{2}$

D. P=-3

Giải:

Ta sở hữu I=$\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx=aln2+bln3$

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=ln(1+x)\\dv=\frac{1}{x^{2}}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=\frac{1}{1+x}dx\\v=-\frac{1}{x} \end{matrix}\right.$

Xem thêm: công thức oxit và hidroxit cao nhất

Khi cơ I=$-\frac{1}{x}ln(1+x)\left|\begin{matrix}
2\\1 \end{matrix}\right.+\int_{1}^{2}\frac{1}{x(1+x)}dx=-\frac{1}{2}ln3+ln2+\int_{1}^{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x})dx$

=$-\frac{1}{2}ln3+ln2+(ln\frac{x}{x+1})\left|\begin{matrix}2\\1 \end{matrix}\right.=-\frac{1}{2}ln3+ln2+2ln2-ln3=3ln2-\frac{3}{2}ln3$

Suy đi ra a=3, b=$-\frac{3}{2}$. Vậy P=$ab=\frac{-9}{2}$

Chọn đáp án C.

3.5. Nguyên hàm của hàm số f(x)=ln/x

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x)=1x+In(x)x

Giải:

Ta có: 

y’= $-\frac{1}{x^{2}}+\frac{ln(x)'x-ln(x)'x}{x^{2}}$

=$-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1+ln(x)}{x^{2}}=-\frac{ln(x)}{x^{2}}$

Ví dụ 2:

Giả sử tích phân I=$\int_{1}^{5}\frac{1}{1+\sqrt{3x+1}}dx$=a+bln3+cln5. 

Lúc đó:

A. $a+b+c=\frac{5}{3}$

B. $a+b+c=\frac{4}{3}$

C. $a+b+c=\frac{7}{3}$

D. $a+b+c=\frac{8}{3}$

Giải:

Đặt t = $\sqrt{3x+1}\Rightarrow dx=\frac{2}{3}tdt$

Đổi cận

Ta sở hữu I=$\int_{1}^{5}\frac{1}{1+\sqrt{3x+1}}dx=\int_{1}^{4}\frac{1}{1+t}.\frac{2}{3}tdt=\frac{2}{3}\int_{2}^{4}\frac{t}{t+1}dt=\frac{2}{3}\int_{2}^{4}(1-\frac{1}{t+1})dt=\frac{2}{3}(t-ln|1+t|)\left|\begin{matrix}4\\2 \end{matrix}\right.=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}ln3-\frac{2}{3}ln5$

Do đó $a=\frac{4}{3};b=\frac{2}{3};c=-\frac{2}{3}$

Vậy $a+b+c=\frac{4}{3}$

=> Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Biết tích phân $\int_{0}^{ln6}\frac{e^{x}}{1+\sqrt{e^{x}+3}}dx=a+bln2+cln2$, với a, b, c là những số nguyên vẹn. Tính T=a+b+c

A. T=-1

B. T=0

C. T=2

D.T=1

Giải:

Đặt t=$\sqrt{e^{x}+3}\Rightarrow t^{2}=e^{x}+3\Rightarrow 2tdt=e^{x}dx$

Đổi cận $\left\{\begin{matrix}x=ln6\\x=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
t=3\\t=2 \end{matrix}\right.$

Suy ra $\int_{0}^{ln6}\frac{e^{x}}{1+\sqrt{e^{x}+3}}dx=\int_{2}^{3}\frac{2tdt}{1+t}dt=(2t-2ln|t+1|)\left|\begin{matrix}3\\2 \end{matrix}\right.$

=$(6-2ln4)-(4-2ln3)=2-4ln2+2ln3 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=2\\b=-4\\c=2 \end{matrix}\right.$

Vậy T=0

=> Chọn đáp án B

3.6. Tính nguyên hàm của ln(lnx)/x

Tính nguyên vẹn hàm $I=\int \frac{ln(lnx)}{x}dx$ được sản phẩm nào là sau đây?

Ví dụ 1: Tính nguyên vẹn hàm của hàm số  I=$\int \frac{ln(lnx)}{x}dx$

Giải:

Đặt lnx=t => dt = $\frac{dx}{x}$

Suy đi ra I=$\int \frac{ln(lnx)}{x}dx=\int lntdt$

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=lnt\\dv=dt \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=\frac{dt}{t}\\v=t \end{matrix}\right.$

Theo công thức tính nguyên vẹn hàm từng phần tớ có:

I=$tlnt-\int dt=tlnt-t+C=lnx.ln(lnx)-lnx+C$

Ví dụ 2:

Cho I=$\int_{1}^{e}\frac{lnx}{x(lnx+2)^{2}}dx=aln3+bln2+\frac{c}{3}$ với a, b, c $\in Z$. Khẳng toan nào là tại đây trúng.

A. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

B. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=11$

C. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9$

D. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Giải:

Ta sở hữu I=$\int_{1}^{e}\frac{lnx}{x(lnx+2)^{2}}dx, bịa lnx+2=t => \frac{dx}{x}=dt$

I=$\int_{2}^{3}\frac{t-2}{t^{2}}dt=\int_{2}^{3}\frac{1}{t}dt-2\int_{2}^{3}\frac{1}{t^{2}}dt$

=$lnt\left|\begin{matrix}3\\2 \end{matrix}\right.+\frac{2}{t}\left|\begin{matrix}3\\2 \end{matrix}\right.$

=$ln3-ln2+\frac{2}{3}-\frac{2}{2}=ln3-ln2-\frac{1}{3}$

Suy đi ra a=1;b=-1;c=-1

Vậy $a^{2}+b^{2}+c^{3}=3$

Bên cạnh cơ, thầy Trường Giang đã sở hữu bài bác giảng đặc biệt hoặc về nguyên vẹn hàm tích phân với mọi tip giải bài bác tập dượt đặc biệt hữu ích nhằm giải đề ganh đua trung học phổ thông Quốc gia. Các em nằm trong coi nhập video clip sau đây nhé!

Nắm hoàn toàn bí mật đạt 9+ ganh đua Toán chất lượng nghiệp trung học phổ thông Quốc Gia ngay

Sau nội dung bài viết này, kỳ vọng những em tiếp tục bắt Chắn chắn được toàn cỗ lý thuyết, công thức về nguyên vẹn hàm Inx, kể từ cơ áp dụng hiệu suất cao nhập bài bác tập dượt. Để được thêm nhiều kiến thức và kỹ năng hoặc em hoàn toàn có thể truy vấn ngay lập tức Vuihoc.vn nhằm ĐK thông tin tài khoản hoặc contact trung tâm tương hỗ để sở hữu được kiến thức và kỹ năng cực tốt sẵn sàng mang đến kỳ ganh đua ĐH tiếp đây nhé!

>> Xem thêm:

Xem thêm: ct sin cos

• Phương pháp tính tích phân từng phần và ví dụ minh họa
• Đầy đầy đủ và cụ thể bài bác tập dượt phương trình logarit sở hữu điều giải
• Tuyển tập dượt lý thuyết phương trình logarit cơ bản