Nguyên hàm là gì? Bảng nguyên hàm và công thức nguyên hàm?

Bài toán vẹn toàn hàm là những dạng toán khó khăn hoặc bắt gặp trong những bài xích đánh giá hoặc bài xích thi đua toán lớp 12. Dưới đó là một số trong những cách thức nhằm giải dạng toán này và một số trong những ví dụ minh họa, mời mọc chúng ta gọi nằm trong theo dõi dõi.

1.1. Định nghĩa:

Bạn đang xem: họ nguyên hàm

Cho hàm số f (x ) xác lập bên trên K . Hàm số F (x ) được gọi là vẹn toàn hàm của hàm số f (x ) bên trên K nếu như F’ (x ) = f (x ) với từng x nằm trong K.

Kí hiệu K là khoảng tầm hoặc đoạn hoặc nửa đoạn của R.

Họ toàn bộ những vẹn toàn hàm của hàm số f (x ) ký hiệu là ∫ f (x ) = F (x )+ C .

Chú ý: Mọi hàm số liên tiếp bên trên K đều sở hữu vẹn toàn hàm bên trên K.

1.2. Định lý:

Định lý 1:

Nếu F(x) là một trong những vẹn toàn hàm của hàm số f(x) bên trên K thì với từng hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một trong những vẹn toàn hàm của f(x) bên trên K.

Chứng minh: Vì F(x) là vẹn toàn hàm của f(x) bên trên K nên (F(x))’ = f(x). Vì C là hằng số nên (C)’ = 0.

Ta có: (G(x))’ = (F(x) + C)’ = (F(x))’ + (C)’ = f(x) + 0 = f(x)

Vậy G(x) là một trong những vẹn toàn hàm của f(x).

Định lý 2:

Nếu F(x) là một trong những vẹn toàn hàm của hàm số f(x) bên trên K thì từng vẹn toàn hàm của f(x) bên trên K đều sở hữu dạng F(x) + C, với C là một trong những hằng số.

Chứng minh: Giả sử G(x) cũng là một trong những vẹn toàn hàm của f(x) bên trên K, tức là G'(x) = f(x), x ∈ K. Khi đó:

(G(x) – F(x))’ = G'(x) – F'(x) = f(x) – f(x) = 0, x ∈ K.

Vậy G(x) – F(x) là một trong những hàm số ko thay đổi bên trên K. Ta có:

G(x) – F(x) = C ⇒ G(x) = F(x) + C, x ∈ K.

2. Tính hóa học của vẹn toàn hàm:

∫ f(x) dx)’ = f(x) + C

Tính hóa học này được suy thẳng rời khỏi kể từ khái niệm về vẹn toàn hàm. Nếu F(x) là một trong những vẹn toàn hàm của hàm số f(x) bên trên K thì F(x) + C, C ∈ R là bọn họ toàn bộ những vẹn toàn hàm của f(x) bên trên K.

∫ k f(x) dx=k∫ f(x) dx (với k ≠ 0)

Ta có kf(x) = F(x).

Vì k ≠ 0 nên f(x) = 1/k . F'(x) = [1/k . F(x)].

Chứng minh theo dõi đặc điểm 1, tớ có:

$(k \int f (x) d x)^{'} = k (\int f (x) d x)^{'} = k f (x)$ C $(k \int f (x) d x)^{'} = k (\int f (x) d x)^{'} = k f (x)$ C₁ $(k \int f (x) d x)^{'} = k (\int f (x) d x)^{'} = k f (x)$ C₁ $(k \int f (x) d x)^{'} = k (\int f (x) d x)^{'} = k f (x)$

$(k \int f (x) d x)^{'} = k (\int f (x) d x)^{'} = k f (x)$ C₁tùy ý nằm trong R và k≠ 0 nên C = k. C₁tùy ý nằm trong R)

$\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$

Nếu f, g là nhị hàm số liên tiếp bên trên K thì ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x) dx ± ∫ g(x) dx.

Chứng minh:

– Gọi F(x) là một trong những vẹn toàn hàm của f(x), G(x) là một trong những vẹn toàn hàm của g(x).

– Tìm vẹn toàn hàm nhị vế và tóm lại.

Giải:

Gọi F(x) là một trong những vẹn toàn hàm của f(x), G(x) là một trong những vẹn toàn hàm của g(x).

Ta có $f (x) = F^{'} (x), g (x) = G^{'} (x)$

Suy ra $\int [f (x) \pm g (x)] d x = \int [F^{'} (x) \pm G^{'} (x)] d x$

$= \int [F (x) \pm G (x)]^{'} d x = F (x) \pm G (x) + C$

Lại sở hữu $\int f (x) d x \pm \int g (x) d x = \int F^{'} (x) d x \pm \int G^{'} (x) d x = F (x) \pm G (x) + C$ .

Vậy $\int [f (x) \pm g (x)] d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x$

∫ k f(x) dx=k∫ f(x) dx (với k ≠ 0) ⇒ ∫ [k. f(x) + l. g(x)] dx=k ∫ f(x) dx + l ∫ g(x) dx

3. Công thức thay đổi trở nên số:

∫ f [u(x)] u’ (x)dx = F [u(x)] + C

4. Công thức vẹn toàn hàm từng phần:

∫ udv = uv – ∫ vdu

5. Bảng vẹn toàn hàm:

Một số nguyên tắc tính vẹn toàn hàm cơ bản:

– Tích của nhiều thức hoặc lũy thừa→khai triển.

Xem thêm: cosx bằng gì

– Tích những hàm mũ→khai triển theo dõi công thức nón.

– Bậc chẵn của sin hoặc cos→hạ bậc: sin²a=1/2-1/2 cos 2a;

cos²a=1/2+1/2 cos 2a

Chứa tích những căn thức của x→chuyển về lũy quá.

6. Phương pháp giải việc vẹn toàn hàm:

6.1 Phương pháp thay đổi trở nên số:

Nếu ∫ f (x) d x = F (x) + C thì ∫f [u(x)]. u’ (x) dx = F [u(x)] + C

Giả sử tớ cần thiết tìm hiểu họ nguyên hàm I = ∫ f(x) dx, nhập bại liệt tớ rất có thể phân tách hàm số tiếp tục cho tới f(x) = g[ u(x) ]. u'(x) thì tớ triển khai luật lệ đổi khác trở nên bịa t = u(x) ⇒ dt = u'(x) dx. Khi bại liệt, tớ thấy I = ∫ g(t) dt = G(t) + C = G [u(x)] + C.

Chú ý: Sau Lúc tớ tìm kiếm được họ nguyên hàm theo dõi t thì tớ nên thay cho t = u(x).

6.2 Phương pháp tính vẹn toàn hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ I = ∫ [P(x) / Q(x)]. dx:

Nếu bậc của tử số P(x) ≥ bậc của khuôn số Q(x) → phân tách nhiều thức.

Nếu bậc của tử số P(x) ≤ bậc của khuôn số Q(x) → phân tách khuôn Q(x) kết quả số, rồi dùng cách thức phân tách để lấy về công thức vẹn toàn hàm số.
Nếu khuôn ko phân tách được kết quả số→thêm bớt nhằm thay đổi trở nên hoặc lượng giác hóa bằng phương pháp bịa X = a tan t, nếu như khuôn đem được về dạng X² + a²

6.3 Nguyên hàm từng phần:

Cho nhị hàm số u và v liên tiếp bên trên [a;b] và sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên [a;b]. Khi bại liệt tớ sở hữu được:

∫ udv = uv – ∫ vdu (*)

Để tính vẹn toàn hàm ∫ udv = uv – ∫ vdu vì như thế cách thức từng phần tớ thực hiện như sau:

Bước 1: Chọn u, v sao cho tới f(x) dx = udv (Chú ý dv = v'(x) dx)

Tính: v = ∫ dv và du =u’dx.

Bước 2: Thay nhập công thức (*) và tính ∫ vdu.

Cần nên lựa lựa chọn u và dv phải chăng sao cho tới tớ đơn giản dễ dàng tìm kiếm được v và tích phân ∫ vdu dễ dàng tính rộng lớn ∫ udv.

Mẹo nhớ: “Nhất lô, nhì nhiều, tam lượng, tứ mũ”

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) liên tiếp bên trên R. hiểu x² – 3x + một là một vẹn toàn hàm của hàm số f(x)/ x, bọn họ toàn bộ những vẹn toàn hàm của hàm số f'(x). e^2xlà

Lời giải:

Ta sở hữu x² – 3x +1 là một trong những vẹn toàn hàm của hàm số f(x)/x suy rời khỏi f(x)/x = (x² – 3x +1)’ = 2x – 3.

Suy rời khỏi f(x) = 2x² – 3x suy rời khỏi f'(x) = 4x – 3. Xét I = ∫ (4x – 3). e^2xdx.

Đặt u= 4x – 3; dv = e^2xdx kể từ bại liệt suy rời khỏi du = 4dx; v = một nửa e^2x

Khi bại liệt tớ có:

I = ∫ (4x – 3). e^2xdx = [(4x – 3). e^2x] /2 – 2 ∫ e^2xdx = [(4x – 3). e^2x] /2 – e^2x+ C = [(4x – 5. e^2x)/2] + C.

Ví dụ 2: Tìm ∫ sin 5x. cosx dx.

Ta có: ∫ sin5x. cos x dx = một nửa ∫ (sin6x + sin4x) dx

= một nửa {- [cos6x)/6] – 1/4. cos 4x} + C = -1/12. cos 6x – 1/8. cos 4x + C.

Ví dụ 3: hiểu F(x) là một trong những vẹn toàn hàm của hàm số f(x) = 1/(x-2), vừa lòng F(3) = 1 và F(1) = 2, độ quý hiếm của F(0) + F(4) vì như thế bao nhiêu:

Lời giải:

Hàm số f(x) xác lập bên trên R/{2}.

Ta có: F(x) = ∫ f(x) dx = ∫ 1/ (x-2) . dx= { In (x – 2) + C₁ Lúc x > 2 ; In (2 – x) + C₂khi x < 2.

Do { F(3) = 1; F(1) = 2 ⇔ { C₁= 1; C₂= 2. Khi bại liệt F(x) = { In (x – 2) + 1 Lúc x >2; In (2-x) + 2 Lúc x < 2.

Như vậy: F(0) + F(4) = ( In 2+2) + (In 2+1) = 2 In 2+3.

Một số bài xích tập:

Bài 1: Cho hàm số f(x) vừa lòng f(2) = -1/5 và f'(x) = x³[f(x)] ²với từng x ∈ R. Giá trị của f (1) vì như thế bao nhiêu?

Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số:

a) ∫x.2^x dx

b) ∫(x²-1) e^x dx

Bài 3: Cho hàm số f(x) liên tiếp bên trên R. hiểu x²– 3x + một là một vẹn toàn hàm của hàm số f(x)/ x, bọn họ toàn bộ những vẹn toàn hàm của hàm số f'(x).e^2xlà gì?

Xem thêm: chu vi hình cầu