hàm số liên tục

1. Hàm số liên tiếp là gì?

Bạn đang xem: hàm số liên tục

Hàm số hắn = f(x) gọi là hàm số liên tục bên trên khoảng tầm nếu như hàm số cơ liên tiếp bên trên từng điểm nằm trong khoảng tầm cơ. Cụ thể rộng lớn, tớ sở hữu khái niệm bao quát cộng đồng như sau:

Cho hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên $K,x_{0}\in K$. Khi cơ, hắn = f(x) liên tiếp bên trên $x_{0}$ Khi $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim} f(x)=f(x_{0})$.

Đồ thị hàm số liên tục sở hữu dạng:

2. Hàm số liên tiếp bên trên 1 điểm

Cho hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên (a;b) và $x_{0} \epsilon (a;b)$. Hàm số hắn được gọi là hàm số liên tục bên trên một điểm $x_{0}$ Khi $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(x_{0})$.

Ngược lại, nếu như hàm số $f(x_{0})$ ko liên tiếp bên trên $x_{0}$ thì Khi cơ $x_{0}$ gọi là vấn đề loại gián đoạn của f(x).

Nâng cao hơn nữa, nếu như tớ sở hữu 2 hàm số hắn = f(x) và hắn = g(x) nằm trong liên tiếp bên trên điểm $x_{0}$. Khi đó:

• $y=f(x) + g(x) . hắn = f(x) - g(x) . y=f(x) . g(x)$ tiếp tục liên tiếp bên trên điểm $x_{0}$.

• $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ là hàm số liên tục bên trên $x_{0}$ Khi $g(x_{0}) \neq 0$.

3. Hàm số liên tiếp bên trên một khoảng

Nếu hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên một khoảng tầm (a;b) thì Khi cơ hàm số f(x) tiếp tục liên tiếp bên trên từng điểm nằm trong (a;b). Đồ thị hàm liên tiếp bên trên khoảng tầm (a;b) được màn trình diễn vì thế một lối đường nét ngay lập tức, không trở nên đứt gãy.

Các hàm số căn thức, phân thức, hàm con số giác đều liên tiếp bên trên từng khoảng tầm xác lập của bọn chúng.

Ngoài rời khỏi, nếu như thiết bị thị hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên khoảng tầm (a; b) và vừa lòng $ \underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}f(x)=f(a); \underset{x\rightarrow b^{-}}{lim}f(x)=f(b)$ thì thiết bị thị hắn = f(x) liên tiếp bên trên đoạn [a;b].

4. Hàm số liên tiếp bên trên r

Hàm liên tiếp bên trên R là tình huống quan trọng của hàm số liên tục bên trên một khoảng tầm.

Đối với một vài hàm nhiều thức thì tiếp tục liên tiếp bên trên tập dượt R tuy nhiên ko cần thiết chứng tỏ, gồm những: dung lượng giác hắn = sinx, hắn = cosx, hàm nhiều thức, hàm phân thức sở hữu tập dượt xác lập R, hàm nón.

Tham khảo ngay lập tức tư liệu tổ hợp kỹ năng và cách thức giải từng dạng bài bác tập dượt độc quyền của VUIHOC ngay

5. Một số lăm le lý cơ bạn dạng về hàm số liên tục

Để vận dụng giải những bài bác tập dượt tương quan cho tới hàm số liên tục, ngoài khái niệm những loại hàm số liên tục, học viên cần thiết tóm vững chắc 3 lăm le lý cơ bạn dạng sau đây:

Định lý 1: 

• Hàm số nhiều thức là loại hàm số liên tục bên trên tập dượt R.

• Hàm số thương của 2 nhiều thức (phân thức hữu tỉ) và những hàm con số giác đều liên tiếp bên trên từng khoảng tầm của tập dượt xác lập.

Định lý 2: Cho hàm số hắn = f(x) và hắn = g(x) là nhì hàm số liên tục bên trên $x_{0}$.

Ta có:

• $y=f(x) + g(x) . y=f(x) - g(x),y=f(x) . g(x)$ tiếp tục liên tiếp bên trên điểm $x_{0}$.

• $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ là hàm số liên tục bên trên $x_{0}$ Khi $g(x_{0}) \neq 0$.

Định lý 3: Cho hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên [a;b] và vừa lòng f(a) . f(b) < 0. Tồn bên trên tối thiểu một điểm c nằm trong đoạn (a;b) vừa lòng f(c) = 0. 

Định lý này thông thường dùng để làm chứng tỏ sự tồn bên trên nghiệm của phương trình bên trên khoảng tầm chắc chắn.

Định lý 3 còn tồn tại một dạng khác ví như sau:

Cho hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên [a;b] và vừa lòng f(a) . f(b) < 0. Phương trình f(x) = 0 sẽ có được tối thiểu 1 nghiệm trong vòng (a;b).

6. Các dạng bài bác tập dượt về hàm số liên tục và ví dụ cụ thể

6.1. Dạng 1: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên một điểm

Đây là dạng bài bác thông thường gặp gỡ nhập chuyên mục hàm số liên tục. Để xét tính liên tiếp của hàm số bên trên một điểm, tớ tổ chức bám theo công việc sau:

Bước 1: Tính độ quý hiếm $f(x_{0})$

Bước 2: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)$ hoặc $\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x), \underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$

Bước 3: So sánh nhì độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)$ hoặc $\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x), \underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$ với $f(x_{0})$ vẫn tính ở bước 1, rồi tóm lại.

• Nếu độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(x_{0})$  hoặc $\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x),\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=f(x_{0})$ thì học viên tóm lại hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm $x_{0}$.

• Nếu giá bán trị $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)$ ko tồn tại  hoặc $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x) \neq 0$ thì học viên tóm lại hàm số f(x) ko liên tiếp bên trên điểm $x_{0}$.

Bước 4: Kết luận dựa vào đòi hỏi đề bài bác.

Ví dụ 1: Xét tính liên tiếp bên trên x = 1 của hàm số sau đây: 

$\left\{\begin{matrix}
\frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x^{2} - 3x +2} & Khi \, x \neq 1 \\ 
-3 & Khi \, x = 1
\end{matrix}\right.$

Giải:

Hàm số đề bài bác xác lập bên trên R\{2} sở hữu x = 1 và f(1) = -3

Tính số lượng giới hạn hàm số bên trên điểm x = 1:

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x^{2} - 3x + 2}=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{(x - 1)(5x - 2)}{(x - 1)(x - 2)}=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{5x - 2}{x - 2}=-3$

Ta thấy: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=f(1)=-3$. Suy rời khỏi hàm số đề bài bác liên tiếp bên trên $x_{0}=1$

Ví dụ 2: Xét tính liên tiếp của hàm số tại đây bên trên điểm x = 1:

Giải:

Hàm số đề bài bác cho tới xác lập bên trên x = 1 và f(1) = 1

Tính số lượng giới hạn trái khoáy bên trên x = 1:

$\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}1=1$

Tính số lượng giới hạn nên bên trên x = 1:

$\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim} \frac{2 - 7x +5x^{2}}{x^{2} - 3x + 2}=\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim} \frac{5x - 2}{x - 2}=-3$

Vì $\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}f(x) \neq \underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}f(x)$ nên hàm số loại gián đoạn bên trên x = 1.

6.2. Dạng 2: Xét tính liên tiếp, chứng tỏ hàm số liên tục bên trên một khoảng tầm đoạn hoặc tập dượt xác định

Đối với dạng bài bác tập dượt này, học viên cần thiết vận dụng kết hợp 2 lăm le lý 1 và 2 nhằm xét tính liên tiếp của hàm số đề bài bác bên trên từng khoảng tầm xác lập của chính nó. Nếu hàm số vẫn cho tới xác lập, những em học viên nối tiếp xét tính liên tiếp bên trên những điểm quan trọng của hàm số cơ.

Ví dụ 1: Chứng minh hàm số tại đây liên tiếp bên trên khoảng tầm (-7;+)

$f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^{2} - x + 4, x \geq 2\\ 
\frac{x - 2}{\sqrt{x + 7 - 3}}, -7 < x < 2
\end{matrix}\right.$

Giải:

Ví dụ 2: Tìm độ quý hiếm a, b sao cho tới hàm số sau liên tục:

$\left\{\begin{matrix}
1, x < 3\\ 
ax + b, 3 \leq x \leq 5\\ 
3, x > 5
\end{matrix}\right.$

Giải:

6.3. Dạng 3: Tìm ĐK hàm số liên tục bên trên 1 điểm

Đây là dạng toán “tìm m” cực kỳ phổ cập trong những đề luyện đua và những đề đánh giá nhập công tác học tập phổ thông. Phương pháp giải dạng toán này bao gồm sở hữu 3 bước:

Bước 1: Tìm điểm xác lập $x_{0}$ của hàm số đề bài bác. Tính độ quý hiếm f(m) với $m = x_{0}$

Bước 2: Tính số lượng giới hạn của hàm số đề bài bác bên trên $x_{0}$

Bước 3: Hàm số f(x) liên tiếp bên trên $x_{0}$ Khi và chỉ Khi $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}=f(x_{0})$

Bước 4: Kết luận độ quý hiếm của m.

Các em nằm trong xét ví dụ sau đây:

Ví dụ 1: Tìm độ quý hiếm m nhằm hàm số sau liên tiếp bên trên điểm x = 1

Giải:

Ta xét hàm số xác lập bên trên x = 1 và f(x) = -3m . 1 - 1.

Tính số lượng giới hạn hàm số bên trên điểm x = 1

$\underset{x\rightarrow 1}{lim} f(x) = \underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x^{2} - 3x + 2} = \underset{x\rightarrow 1}{lim}  \frac{(x -1)(5x - 2)}{(x - 1)(x - 2)}=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{5x - 2}{x - 2}=-3$

Vậy, hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm $x_{0}=1$ khi:

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=f(1) \Leftrightarrow -3m -1 \Leftrightarrow m=-\frac{2}{3}$

Kết luận: $m=\frac{-2}{3}$ 

Ví dụ 2:

Giải:

Ta sở hữu $\underset{x\rightarrow -2^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow -2^{+}}{lim}f(-2) \Leftrightarrow -2a - 1 = -11 \Leftrightarrow a=5$

Vậy độ quý hiếm a cần thiết dò la là 5.

Đăng ký ngay lập tức và để được những thầy cô xây đắp suốt thời gian và ôn tập dượt kỹ năng đạt 9+ ôn đua chất lượng tốt nghiệp THPT

6.4. Dạng 4: Tìm ĐK nhằm hàm số liên tục bên trên một khoảng tầm đoạn hoặc tập dượt xác định

Đối với những vấn đề dò la ĐK nhằm hàm số liên tục bên trên một quãng hoặc một tập dượt xác lập ngẫu nhiên, học viên thực hiện tương tự động dạng 3. Điểm khác lạ độc nhất là ở dạng 3 tớ dò la điểm thực hiện hàm số xác lập, còn với dạng này tớ dò la khoảng tầm đoạn hoặc tập dượt thực hiện cho tới hàm số xác lập.

Xem thêm: công thức oxit và hidroxit cao nhất

Xét vấn đề ví dụ sau đây:

Ví dụ 1: Tìm độ quý hiếm m nhằm hàm số tại đây liên tiếp bên trên tập dượt xác định:

Giải:

Tập xác lập của hàm số là R

Xét tình huống $x \neq 1$, hàm số sở hữu dạng $f(x)=\frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x-1}$. f(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên tập dượt xác lập là $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$ bởi vậy f(x) cũng liên tiếp bên trên khoảng tầm $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$

Xét tình huống x = 1 thì tớ sở hữu f(1) = -3m - 1:

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{2 - 7x +5x^{2}}{x-1}=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{(x-1)(5x - 2)}{x - 1}=3$

Khi cơ, hàm f(x) liên tiếp bên trên điểm $x_{0} = 1$ Khi và chỉ khi:

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=f(1) \Leftrightarrow 3m - 1=3 \Leftrightarrow m=-\frac{4}{3}$ 

Kết luận: $m=-\frac{4}{3}$ 

Ví dụ 2: Tìm m nhằm hàm số tại đây liên tiếp bên trên $[0;+\infty)$

$\left\{\begin{matrix}
\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}, & 0 < x < 9\\ 
 m,& x=0\\ 
 \frac{1}{18m},&x\geq 9 
\end{matrix}\right.$

Giải:

6.5. Dạng 5: Ứng dụng tính liên tiếp của hàm số nhằm chứng tỏ phương trình sở hữu nghiệm 

Ta nằm trong xét những ví dụ tại đây nhằm hiểu về phong thái phần mềm tính liên tiếp của hàm số chứng tỏ phương trình sở hữu nghiệm:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình $3x^{3} + 2x - 2 = 0$ sở hữu nghiệm nhập (0; 1).

Giải:

Hàm số đề bài bác là hàm nhiều thức, do đó f(x) liên tiếp bên trên R. Suy rời khỏi, f(x) cũng liên tiếp bên trên đoạn [0;1].

Ta có:

f(0) . f(1) = (-2) . (3) = -6 < 0

Do vậy, sở hữu tối thiểu một số ít c nhập (0; 1) sao cho tới f(c) = 0. Hay thưa cách tiếp, phương trình f(x) = 0 sở hữu tối thiểu 1 nghiệm nằm trong (0; 1).

Ví dụ 2: Chứng minh rằng, phương trình $2x^{3} - 6x^{2} + 5 = 0$ trong vòng (-1;3) sở hữu 3 nghiệm phân biệt.

Hàm số đề bài bác liên tiếp bên trên R, bởi vậy f(x) liên tiếp bên trên những đoạn [-1;0], [0;2], [2;3].

Ta thấy: f(-1) = -3, f(0) = 5, f(2) = -3, f(3) = 5. Từ đó:

f(-1) . f(0) < 0

f(0) . f(2) < 0

f(2) . f(3) < 0

Vì vậy, phương trình đề bài bác sở hữu nghiệm trong những khoảng tầm (-1;0),(0;2) và (2;3).

Từ cơ tớ hoàn toàn có thể tóm lại phương trình sở hữu 3 nghiệm phân biệt trong vòng (-1; 3).

6.6. Dạng 6: Sử dụng tính liên tiếp nhằm xét lốt hàm số

Khi xét lốt hàm số sở hữu vận dụng tính liên tiếp của hàm số, học viên cần dùng kết quả: “Nếu hàm số hắn = f(x) là hàm liên tiếp và ko triệt tiêu xài bên trên [a;b] thì Khi cơ sở hữu lốt chắc chắn bên trên (a;b)”

Xét những ví dụ sau:

Ví dụ: Xét lốt của hàm số sau: $f(x)= \sqrt{x+4} - \sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x}$

Giải:

7. Một số bài bác tập dượt về hàm số liên tục kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên và cách thức giải

Để thạo những dạng bài bác tập dượt hàm số liên tục, những em học viên nằm trong vuihoc giải những bài bác tập dượt rèn luyện sau đây!

Bài 1: Xét tính liên tiếp của hàm số sau bên trên điểm x = 0

Giải:

Hàm số đề bài bác xác lập bên trên x = 0 và f(0) = 2

Xét số lượng giới hạn trái khoáy bên trên điểm x = 0:

$\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} (2x + \frac{1}{4})=\frac{1}{4}$

Xét số lượng giới hạn nên bên trên x=0:

$\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} \frac{\sqrt{x + 4}-2}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x + 4}-2}{(\sqrt{x+4})^{2}-4}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{1}{\sqrt{x+4} + 2}=$

Xét thấy, $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} f(x)$ nhưng lại không giống f(0). Do cơ, hàm số ko liên tiếp bên trên x=0

Bài 2: Xét tính liên tiếp bên trên R của hàm số sau:

Giải:

Trường phù hợp x < 0: f(x) = 2x - một là hàm số liên tục

Trường phù hợp x > 0: $f(x) = \sqrt{x}$ là hàm số liên tục

Từ cơ suy rời khỏi, tớ chỉ xét tính liên tiếp của hàm số bên trên x = 0 là hoàn toàn có thể tóm lại tính liên tiếp của hàm số đề bài bác.

$\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} \sqrt{x}=0$

$\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} (2x - 1)= -1$

Xét thấy $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} f(x)=f(0) \neq \underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} f(x)$. Do cơ, hàm số loại gián đoạn bên trên điểm x = 0.

Kết luận: hàm số ko liên tiếp bên trên tập dượt xác lập.

Bài 3: Chứng minh phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ luôn luôn tồn bên trên nghiệm nhập $[0; \frac{1}{3}]$ với từng $a \neq 0$ và vừa lòng ĐK 2a + 6b + 19c = 0

Giải:

Bài 4: Tìm độ quý hiếm a nhằm hàm số tại đây liên tiếp bên trên x = 2

Giải:

Bài 5: Hàm số f(x) tại đây liên tiếp bên trên R Khi nào?

$y = f(x) = \left\{\begin{matrix}
2x + 3 & Khi \, x\geq 1\\ 
m + 2 & Khi \, x < 1 
\end{matrix}\right.$

Giải:

Dễ thấy hàm số vẫn cho tới liên tiếp với từng x không giống 1

Vì vậy nhằm hàm số liên tục bên trên $\mathbb{R}$ thì $\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim} f(x) = \underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim} f(x) =  f(1) \Leftrightarrow 5 = m + 2 \Leftrightarrow m=3$

Vậy với m = 3 thì hàm số vẫn cho tới liên tiếp trên $\mathbb{R}$

Bài ghi chép bên trên phía trên vẫn tổ hợp toàn cỗ lý thuyết và những dạng bài bác tập dượt cơ bạn dạng của hàm số liên tục trong công tác toán lớp 11. Hy vọng rằng sau nội dung bài viết này, những em học viên tiếp tục nắm rõ khái niệm và những lăm le lý nhằm vận dụng thực hiện bài bác tập dượt. Để học tập tăng nhiều kỹ năng Toán trung học phổ thông có lợi, những em nhớ rằng truy vấn Vuihoc.vn hoặc tương tác trung tâm tương hỗ nhằm banh rời khỏi cánh cổng học thức đoạt được kỳ đua trung học phổ thông Quốc gia tiếp đây nhé!

Bài ghi chép hoàn toàn có thể xem thêm thêm:

Giới hạn của mặt hàng số

Giới hạn của hàm số

Định nghĩa và ý nghĩa sâu sắc của đạo hàm

Xem thêm: 5 m bằng bao nhiêu cm