Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

Cùng mò mẫm hiểu và ôn lại công thức tính diện tích S mặt mũi cầu, thể tích khối cầu nằm trong Quantrimang.com nhập nội dung bài viết sau đây nhé.

Bạn đang xem: diện tích bề mặt hình cầu

Mặt cầu là gì?

Mặt cầu là quỹ tích những điểm cơ hội đều điểm O thắt chặt và cố định cho tới trước một không gian thay đổi r nhập không khí 3 chiều. Điểm O gọi là tâm và khoảng cách r gọi là nửa đường kính của mặt mũi cầu.

Tính diện tích S, thể tích hình cầu

Khối cầu là gì?

Khối cầu là giao hội những điểm trực thuộc mặt mũi cầu và mặt mũi cầu được gọi là hình cầu hoặc khối cầu với tâm O nửa đường kính là r = OA.

Công thức tính diện tích S mặt mũi cầu, thể tích khối cầu

Công thức tính diện tích S mặt mũi cầu

Diện tích mặt mũi cầu vì thế 4 lượt diện tích S hình tròn trụ rộng lớn, vì thế tứ lượt hằng số Pi nhân với bình phương nửa đường kính của hình cầu.

$S=4\pi .r^{2} =\pi .d^{2}$

Công thức tính thể tích hình cầu:

Thể tích hình cầu hoặc còn được gọi là thể tích khối cầu được xem vì thế phụ thân phần tư của Pi nhân với lập phương nửa đường kính hình cầu.

$V=\frac{4}{3} \pi .r^{3} =\frac{1}{6}\pi .d^{3}$

Trong đó:

S là diện tích S mặt mũi cầu
V là thể tích hình cầu
r là nửa đường kính mặt mũi cầu/hình cầu
d là bánh kính mặt mũi cầu/hình cầu

Công thức tính nửa đường kính mặt mũi cầu

Mặt cầu nước ngoài tiếp khối chóp với cạnh mặt mũi vuông góc với đáy

$R=\sqrt{R_d^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2}$

Rd là nửa đường kính nước ngoài tiếp lòng.
h là phỏng lâu năm cạnh mặt mũi vuông góc với lòng.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD với lòng là hình chữ nhật với AB = 3a, BC = 4a, SA = 12a và SA vuông góc với lòng. Tính nửa đường kính R của mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp S.ABCD.

Giải: Ta có

$R_d=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{AB^{2\ }+BC^2}}{2}=\ \frac{\sqrt{9a^{2\ }+16a^2}}{2}=\frac{5a}{2}$

Vậy $R=\sqrt{R_d^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2}=\ \sqrt{\left(\frac{5a}{2}\right)^2+\left(\frac{12a}{2}\right)^2}=\frac{13a}{2}$

Khối tứ diện vuông (đây là tình huống quan trọng đặc biệt của công thức 1)

Khối kể từ diện vuông OABC với OA, OB, OC, song một vuông góc có:

$R=\sqrt{\frac{OA^2+OB^2+OC^2}{2}}$

Ví dụ:

Khối tứ diện OABC với OA, OB, OC, song một vuông góc và với nửa đường kính mặt mũi cầu nước ngoài tiếp vì thế $\sqrt{3}$ . Thể tích lớn số 1 của khối tứ diện OABC

Giải: Ta có

$R=\frac{\sqrt{OA^2+OB^2+OC^2}}{2}=\sqrt{3\ }=>\ OA^2+OB^2+OC^2\ =12$

Mặt không giống tớ có:

$V_{OABC}=\frac{1}{6}OA.OB.OC$

Theo bất đẳng thức AM - GM tớ có:

$12=OA^2\ +\ OB^2\ +\ OC^2\ \ge\ 3\sqrt[3]{OA^2.OB^2.OC^2}=>\ OA.OB.OC\le8$

$V_{OABC}\le\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$

Khối lăng trụ đứng với lòng là nhiều giác nội tiếp

$R=\sqrt{R_d^2\ +\left(\frac{h}{2}\right)^2}$

Trong đó:

Rd là nửa đường kính nước ngoài tiếp đáy
h là phỏng lâu năm cạnh mặt mũi.

Ví dụ 1: Cho mặt mũi cầu nửa đường kính R nước ngoài tiếp một hình lập phương cạnh a. Mệnh đề nào là sau đây đúng?

Giải: Ta có

$R=\sqrt{R_d^2+\left(\frac{h}{2}\right)^{2\ }}=\sqrt{\left(\frac{a}{^{\sqrt{2}}}\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}$ $\Rightarrow \ a=\frac{2\sqrt{3}R}{3}$

Vậy, đáp án là C.

Công thức cho tới khối tứ diện với những đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng

$R=\sqrt{R_d^2\ +\left(\frac{h}{2}\right)^2}$

Khối tứ diện (H1) với những đỉnh là đỉnh của khối lăng trụ đứng (H2), khi đó:

$R_{\left(H_1\right)}=R_{\left(H_2\right)}=\sqrt{R_d^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2}$

Xem thêm: 7 thì trong tiếng anh

Công thức tính nửa đường kính mặt mũi cầu cho tới khối chóp xuất hiện mặt mũi vuông góc đáy

$R=\sqrt{R_d^2+\left(\frac{a}{2}\cot x\right)^2}$

Trong bại R, d là nửa đường kính nước ngoài tiếp đáy; a, x ứng là phỏng lâu năm đoạn kí thác tuyến của mặt mũi mặt và lòng, góc ở đỉnh của mặt mũi mặt nom xuống lòng.

Hoặc hoàn toàn có thể dùng công thức

$R=\sqrt{R_d^2+R_b^2+\frac{a^2}{4}}$

Trong đó: R_blà nửa đường kính nước ngoài tiếp của mặt mũi mặt và a ứng là phỏng lâu năm đoạn kí thác tuyến của mặt mũi mặt và lòng.

Ví dụ:

Cho hình chóp S.ABCD với lòng là hình vuông vắn, tam giác SAD đều cạnh √2a và trực thuộc mặt mũi bằng phẳng vuông góc với mặt mũi lòng. Tính nửa đường kính R của mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp S.ABCD.

Giải: Ta có

$R=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}a}{2\sqrt{3}}\right)^2}=\frac{a\sqrt{42}}{6}$

Vậy đáp án thực sự B.

Ví dụ về tính diện tích S mặt mũi cầu, thể tích khối cầu

Bài 1: Cho hình tròn trụ với chu vi là 31,4 centimet. Hãy tính thể tích hình cầu với nửa đường kính vì thế nửa đường kính của hình tròn trụ vừa vặn cho tới.

Giải:

Chu vi hình tròn trụ C = 2πr = 31.4 cm

=> Bán kính r = C/2π = 5 cm

Thể tích khối cầu vẫn cho tới là:

V = ⁴⁄₃πr³ = 4/3.3,14.(5)³ = 523,3 cm³

Bài 2: Tính thể tích khối cầu với 2 lần bán kính d = 4 centimet.

Giải:

Bán kính r = d/2 = 2 cm

Thể tích khối cầu là:

V = ⁴⁄₃πr³ = 4/3.3,14.(2)³ = 33,49 cm³

Bài 3:

Cho hình tròn trụ 2 lần bán kính 4a xoay quanh 2 lần bán kính của chính nó. Khi bại thể tích khối tròn trĩnh xoay sinh rời khỏi vì thế bao nhiêu?

Giải: Cho hình tròn trụ 2 lần bán kính 4a xoay quanh 2 lần bán kính của chính nó tớ được khối cầu với 2 lần bán kính 4a hoặc nửa đường kính R = 2a.

Thể tích khối cầu là:

$V=\frac{4}{3}\pi^{^{^{^{^{^{ }}}}}}R^3\ =\ \frac{4}{3}\pi\left(2a\right)^3\ =\ \frac{32}{3}\pi a^3$

Bài 4:

Mặt cầu với nửa đường kính R√3 với diện tích S là:

A. 4√3πR2

B. 4πR2

C. 6πR2

D. 12πR2

Giải: sát dụng công thức: S = 4πR2

Diện tích mặt mũi cầu với nửa đường kính R√3 là: S = 4π(R√3)2 = 12πR2

Vậy đáp án là D.

Hai công thức cộc gọn gàng thôi tuy nhiên nhằm lưu giữ lâu lâu năm thì cũng kha khá khó khăn đấy. Bookmark nội dung bài viết và cởi rời khỏi khi chúng ta cần thiết nhé. Hi vọng nội dung bài viết hữu ích với chúng ta.

Ngoài công thức tính diện tích S mặt mũi cầu, thể tích khối cầu phía trên, những chúng ta cũng có thể tìm hiểu thêm tăng công thức tính diện tích S của một số trong những hình cơ phiên bản khác ví như hình tam giác, hình chữ nhật, hình bình hành...

Xem thêm: một số công thức lượng giác