Sinus und Kosinus - Mathepedia

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Graphen der Sinusfunktion (grün) und der Kosinusfunktion (blau). Beide Funktionen sind $2 \pi$ -periodisch und nehmen Werte von $-1$ bis $1$ an.

Die Sinus- und Kosinusfunktion (auch Cosinusfunktion) sind trigonometrische Funktionen. Sie werden unter anderem in der Geometrie für Dreiecksberechnungen und in der Analysis benötigt.

Geometrische Definition

Definition am rechtwinkligen Dreieck

Abb. FO99: Dreieck mit einem rechten Winkel in $C C$ . (Benennung von An- und Gegenkathete unter der Annahme, dass $\alpha$ der betrachtete Winkel ist.)

Sinus eines Winkels \text{Sinus eines Winkels}

= \frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}

Der Kosinus ist das Verhältnis der Länge der Ankathete (das ist jene Kathete, die einen Schenkel des Winkels bildet) zur Länge der Hypotenuse.

Kosinus eines Winkels \text{Kosinus eines Winkels}

= \frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}

Bei den für Dreiecke üblichen Bezeichnungen der Größen (siehe Abb. FO99) gilt hier:

\sin (\alpha) = \frac{a}{c} \quad

und

\quad \cos (\alpha) = \frac{b}{c}

Da die Hypotenuse die längste Seite eines Dreiecks bezeichnet, gelten die Ungleichungen $\sin\left(\alpha\right)\leq 1$ und $\cos\left(\alpha\right)\leq 1$ .

Wird statt von $α \alpha$ von dem gegenüberliegenden Winkel $β \beta$ ausgegangen, so sánh wechseln beide Katheten ihre Rolle, die Ankathete von α\alpha wird zur Gegenkathete von β\beta und die Gegenkathete von α\alpha bildet nun die Ankathete von β\beta und es gilt

\sin (\beta) = \frac{b}{c}\quad

und

\quad \cos (\beta) = \frac{a}{c}

\cos (\alpha) = \sin(90^\circ - \alpha) = \sin(\beta)

und

\sin (\alpha) = \cos(90^\circ - \alpha) = \cos(\beta)

Aus dem Satz des Pythagoras lässt sich die Beziehung ("trigonometrischer Pythagoras") ableiten:

Satz 5220B

\sin^2 \left(\alpha\right) + \cos^2 \left(\alpha\right) = 1

Definition am Einheitskreis

Definition am Einheitskreis.

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel zwischen Hypotenuse und Kathete nur für Werte von $00$ bis $90$ Grad definiert. Für eine allgemeine Definition wird ein Punkt $P P$ mit den Koordinaten $(x,y)$ auf dem Einheitskreis betrachtet, hier gilt $x^2+y^2=1$ . Der Ortsvektor von PP schließt mit der xx-Achse einen Winkel $α \alpha$ ein. Der Koordinatenursprung (0,0)(0,0), der Punkt $(x, 0) (x,0)$ auf der $x$ -Achse und der Punkt P(x,y)P(x,y) bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Hypotenuse beträgt $\sqrt{x^{2} + y^{2}} = 1 \sqrt{x^2+y^2}=1$ . Die Ankathete des Winkels α\alpha bezeichnet die Strecke zwischen $(0, 0) (0,0)$ und $(x,0)$ und hat die Länge $x$ , es gilt also $\cos(\alpha)=x$ . Die Gegenkathete des Winkels α\alpha ist die Strecke zwischen $(x,0)$ und $(x,y)$ und hat die Länge $y$ , es gilt also $\sin(\alpha)=y$ .

Diese Definition lässt sich auf andere Quadranten fortsetzen: Die $y y$ -Koordinate eines Punktes des Einheitskreises entspricht also dem Sinus des Winkels zwischen seinem Ortsvektor und der xx-Achse, während die xx-Koordinate dem Kosinus des Winkels entspricht.

Analytische Definition

Definition durch Taylorreihen

Durch den Übergang vom Winkelmaß zum Bogenmaß können Sinus und Cosinus als Funktionen von $R \R$ nach $\R$ erklärt werden. Die Taylorreihen stellen der Funktionen sin⁡(x)\sin(x) und cos⁡(x)\cos(x) sind:

\sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\mp\dotsb

\cos (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} = \frac{x^0}{0!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\mp\dotsb

Definition als Lösung einer Funktionalgleichung

Ein anderer analytischer Zugang ist, Sinus und Kosinus als Lösung einer Funktionalgleichung zu definieren, die yên ổn Wesentlichen aus den Additionstheoremen besteht: Gesucht ist ein Paar stetiger Funktionen $\sin, \cos\colon\R\to\R$ , das für alle $x,y\in\R$ die Gleichungen

\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)\!

und

\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\!

erfüllt. Die Lösung $\sin \sin$ definiert dann den Sinus, die Lösung $\cos$ den Kosinus. Um Eindeutigkeit zu erreichen, sind einige Zusatzbedingungen zu erfüllen: $\sin(x)\!$ ist eine ungerade Funktion, $\cos (x) ⁣ \cos(x)\!$ eine gerade Funktion, lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1 und cos⁡(0)=1 ⁣\cos(0)=1\!.

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Produktentwicklung

\sin(x) = x \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{x^2}{k^2\pi^2} \right)

\cos(x) = \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{4x^2}{(2k-1)^2\pi^2} \right)

$x x\;$ ist dabei yên ổn Bogenmaß anzugeben.

Wertebereich und spezielle Funktionswerte

Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus

\sin (α) = - \cos (α + 9 0^{\circ}) = \cos (α - 9 0^{\circ}) \sin(\alpha)=-\cos\left(\alpha + 90^\circ \right)=\cos\left(\alpha-90^\circ\right)

(Gradmaß)

\sin (α) = - \cos (α + π / 2) = \cos (α - π / 2) \sin(\alpha)=-\cos\left(\alpha + \pi/2 \right)=\cos\left(\alpha - \pi/2\right)

(Bogenmaß)

Insbesondere folgt daraus $|{\sin\alpha}|\leq 1$ und $|{\cos\alpha}|\leq 1$ .

Wichtige Funktionswerte

Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen mit der Periode $2 π 2 \pi$ (entspricht yên ổn Gradmaß 360∘360^\circ) sind, reicht es, die Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen für den Bereich $[0,2\pi]$ (entspricht dem Bereich $0^\circ$ bis $360^\circ$ ) zu kennen. Funktionswerte außerhalb dieses Bereichs können also aufgrund der Periodizität durch den Zusammenhang

\sin(x) = \sin(x + 2k \pi)\quad \text{und}\quad \cos(x) = \cos(x + 2k \pi)

bestimmt werden. In Gradmaß lautet der Zusammenhang analog

\sin(x) = \sin(x + k \cdot 360^\circ)\quad \text{und}\quad \cos(x) = \cos(x + k \cdot 360^\circ)\,.

Hierbei bezeichnet $k \in Z k \in \Z$ eine ganze Zahl. Die folgende Tabelle listet die wichtigsten Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen auf. Weitere Funktionswerte können auf einer yên ổn Abschnitt Weblinks aufgeführten Seite gefunden werden.

Winkel $α \alpha$ (Grad)	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$180^\circ$	$270^\circ$	$360^\circ$
Bogenmaß	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$
Sinus	$0$	$\frac12$	$\frac12\sqrt2$	$\frac12\sqrt3$	$1$	$0$	$-1$	$0$
Kosinus	$1$	$\frac12\sqrt3$	$\frac12\sqrt2$	$\frac12$	$0$	$-1$	$0$	$1$

Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte

Über die Berechnung der fünften Einheitswurzeln mittels einer quadratischen Gleichung ergibt sich

\sin(18^\circ)=\cos(72^\circ)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}

Mit Hilfe der Additionstheoreme lassen sich viele weitere solche Ausdrücke berechnen wie beispielsweise die Seitenlänge eines regulären Fünfecks über

\cos(54^\circ)=\sin(2\cdot18^\circ)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}

und $\sin(15^\circ)$ , woraus folgt

\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos(30^\circ)=\cos^2(15^\circ)-\sin^2(15^\circ)=1-2\sin^2(15^\circ)

Aus $\sin(18^\circ)$ und $\sin(15^\circ)$ lassen sich dann z. B. $\sin(3^\circ)$ und dann rekursiv auch alle $\sin(k \cdot 3^\circ)$ , $k\in\Z\;$ ermitteln.

Generell gilt, dass $\sin α \sin\alpha\;$ und $\cos\alpha\;$ genau dann explizit mit den vier Grundrechenarten und Quadratwurzeln darstellbar sind, wenn der Winkel α \alpha\; mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, insbesondere also wenn $\alpha\;$ von der Gestalt

\alpha=k\frac{360^\circ}{2^np_1\dots p_r}

ist, wobei $k \in Z k\in\Z\;$ , $n\in\N_0\;$ und die $p_i\;$ für $i=1,\dots,r\;$ Fermatsche Primzahlen sind.In obigem Beispiel von α=3∘\alpha=3^\circ ist k=1 k=1\; und der Nenner gleich $120=2^3\cdot 3\cdot 5.$