Hàm lượng giác

Lượng giác

Khái quát Lịch sử Ứng dụng Hàm Hàm ngược
Tham khảo
Đẳng thức Giá trị đặc biệt Bảng Đường tròn trặn đơn vị
Định lý
Sin Cos Tang Cotang Pythagoras
Vi tích phân
Phép thế lượng giác Tích phân Hàm nghịch tặc đảo Đạo hàm
x t s

Trong toán học tập thưa công cộng và lượng giác học tập thưa riêng rẽ, những hàm lượng giác là những hàm toán học tập của góc, được sử dụng Khi phân tích tam giác và những hiện tượng lạ sở hữu đặc điểm tuần trả. Các dung lượng giác của một góc thông thường được khái niệm vị tỷ trọng chiều nhiều năm nhì cạnh của tam giác vuông chứa chấp góc ê, hoặc tỷ trọng chiều nhiều năm trong số những đoạn trực tiếp nối những điểm đặc biệt quan trọng bên trên vòng tròn trặn đơn vị chức năng. Những khái niệm tân tiến rộng lớn thông thường coi những dung lượng giác là chuỗi số vô hạn hoặc là nghiệm của một trong những phương trình vi phân, điều này được chấp nhận dung lượng giác hoàn toàn có thể sở hữu đối số là một trong những thực hoặc một trong những phức bất kì.

Bạn đang xem: cos bằng gì

Các dung lượng giác ko nên là những hàm số đại số và hoàn toàn có thể xếp vô loại hàm số siêu việt.

Các dung lượng giác cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]

Ngày ni, tất cả chúng ta thông thường thao tác làm việc với sáu dung lượng giác cơ bạn dạng, được liệt kê vô bảng bên dưới, tất nhiên contact toán học tập trong số những hàm.

Hàm	Viết tắt	Liên hệ
Sin	sin
Cos	cos
Tan	tan
Cot	cot
Sec	sec
Csc	csc

Trong lịch sử dân tộc, một trong những dung lượng giác không giống đang được nói tới, tuy nhiên ni không nhiều sử dụng là:

Xem tăng bài bác đẳng thức lượng giác nhằm hiểu thêm thật nhiều contact không giống nữa trong số những dung lượng giác.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Những phân tích một cơ hội khối hệ thống và việc lập bảng tính những dung lượng giác được nghĩ rằng tiến hành lần thứ nhất vị Hipparchus ở Nicaea (180-125 TCN), người đang được lập bảng tính chừng nhiều năm của những cung tròn trặn (có độ quý hiếm vị góc, A, nhân với nửa đường kính, r) và chiều nhiều năm của chão cung ứng (2r sin(A/2)). Sau ê, Ptolemy (thế kỷ II) nối tiếp cách tân và phát triển dự án công trình bên trên vô quyển Almagest, lần ra sức thức nằm trong và trừ mang lại sin(A + B) và cos(A + B). Ptolemy đã và đang suy ra mắt được công thức nửa-góc sin(A/2)² = (1 − cos(A))/2, được chấp nhận ông lập bảng tính với bất kể chừng đúng mực quan trọng nào là. Những bảng tính của Hipparchus và Ptolemy ni đã biết thành thất truyền.

Các cách tân và phát triển về lượng giác tiếp sau ra mắt ở nén Độ, vô dự án công trình Siddhantas (khoảng thế kỷ IV–V), khái niệm hàm sin bám theo nửa góc và nửa chão cung. Quyển Siddhantas cũng chứa chấp bảng tính hàm sin cổ nhất còn tồn bên trên đến giờ (cùng với những độ quý hiếm 1 − cos), cho những góc có mức giá trị kể từ 0 cho tới 90 chừng cách nhau chừng 3.75 chừng.

Công trình nén giáo này sau này được dịch và cách tân và phát triển tăng vị người Ả Rập. Đến thế kỷ X, người Ả Rập đang được sử dụng cả sáu dung lượng giác cơ bạn dạng (trong kiệt tác Abu'l-Wefa), với những bảng tính hàm sin cho những góc cách nhau chừng 0.25 chừng, với chừng đúng mực cho tới 8 chữ số thập phân sau vệt phẩy, và bảng tính hàm tan.

Từ sin nhưng mà thời buổi này tớ sử dụng khởi nguồn từ chữ La tinh ranh sinus ("vịnh" hoặc "gập"), dịch sai kể từ chữ Phạn jiva (hay jya). Jiva (vốn được gọi không thiếu là ardha-jiva, "nửa-dây cung", vô quyển Aryabhatiya thế kỷ VI) được fake tự động lịch sự giờ Ả Rập là jiba (جب), tuy nhiên bị sai trở thành kể từ không giống, jaib (جب) ("vịnh"), vị những dịch fake ở châu Âu như Robert ở Chester và Gherardo ở Cremona vô quyển Toledo (thế kỷ XII). Sự lầm lẫn này hoàn toàn có thể là vì jiba (جب) và jaib (جب) được viết lách tương đương nhau vô giờ Ả Rập (đa số vẹn toàn âm bị lược quăng quật vô bảng vần âm Ả Rập).

Các dự án công trình trước tiên này về những dung lượng giác đều được cách tân và phát triển vô phân tích thiên văn. Có lẽ cuốn sách trước tiên chỉ triệu tập phân tích về lượng giác là De triangulis omnimodus (1464) và Tabulae directionum của Regiomontanus (1436–1476). Quyển Tabulae directionum nói tới hàm tang.

Quyển Opus palatinum de triangulis của Rheticus, một học tập trò của Copernicus, là cuốn sách trước tiên khái niệm những dung lượng giác vị tam giác vuông thay cho sử dụng vòng tròn trặn đơn vị chức năng, tất nhiên bảng tính 6 dung lượng giác cơ bạn dạng. Công trình này được hoàn mỹ vị học tập trò của Rheticus là Valentin Otho năm 1596.

Quyển Introductio in analysin infinitorum (1748) của Euler triệu tập mô tả cơ hội tiếp cận giải tích cho tới những dung lượng giác, khái niệm bọn chúng bám theo những chuỗi vô vàn và trình làng "Công thức Euler" e^ix = cos(x) + i sin(x). Euler đang được sử dụng những ký hiệu viết lách tắt sin., cos., tang., cot., sec., và cosec. tương đương thời buổi này.

Định nghĩa vị tam giác vuông[sửa | sửa mã nguồn]

Có thể khái niệm những dung lượng giác của góc A, bằng sự việc hình thành một tam giác vuông chứa chấp góc A. Trong tam giác vuông này, những cạnh được mệnh danh như sau:

Cạnh huyền là cạnh đối lập với góc vuông, là cạnh nhiều năm nhất của tam giác vuông, h bên trên hình vẽ.
Cạnh đối là cạnh đối lập với góc A, a bên trên hình vẽ.
Cạnh kề là cạnh nối thân thích góc A và góc vuông, b bên trên hình vẽ.

Dùng hình học tập Ơclit, tổng những góc vô tam giác là pi radian (hay 180⁰). Khi đó:

Hàm	Định nghĩa	Biểu thức
Sin	Cạnh đối phân chia mang lại cạnh huyền
Cos	Cạnh kề phân chia mang lại cạnh huyền
Tan	Cạnh đối phân chia mang lại cạnh kề
Cot	Cạnh kề phân chia mang lại cạnh đối
Sec	Cạnh huyền phân chia mang lại cạnh kề
Csc	Cạnh huyền phân chia mang lại cạnh đối

Định nghĩa vị vòng tròn trặn đơn vị[sửa | sửa mã nguồn]

Các dung lượng giác cũng hoàn toàn có thể được khái niệm vị vòng tròn trặn đơn vị chức năng, một vòng tròn trặn sở hữu nửa đường kính vị 1 và tâm trùng với tâm của hệ tọa chừng. Định nghĩa sử dụng vòng tròn trặn đơn vị chức năng thực đi ra cũng phụ thuộc vào tam giác vuông, tuy nhiên bọn chúng hoàn toàn có thể khái niệm cho những từng góc là số thực, chứ không chỉ có số lượng giới hạn thân thích 0 và Pi/2 radian. Các góc to hơn 2π hoặc nhỏ rộng lớn −2π cù vòng bên trên đàng tròn trặn.

Dùng đại số[sửa | sửa mã nguồn]

Vòng tròn trặn đơn vị chức năng là từng điểm (x, y) bên trên mặt mũi bằng của hình học tập bằng thỏa mãn:

x² + y² = 1

Gọi góc θ là góc thân thích đường thẳng liền mạch nối tâm hệ tọa chừng và điểm (x,y) bên trên vòng tròn trặn và chiều dương của trục x của hệ tọa chừng x-y, những dung lượng giác hoàn toàn có thể được khái niệm là:

Hàm	Định nghĩa
sin(θ)	y
cos(θ)	x
tan(θ)	y/x
cot(θ)	x/y
sec(θ)	1/x
csc(θ)	1/y

Khi những góc cù bên trên vòng tròn trặn, hàm sin, cos, sec và csc trở thành hàm tuần trả với chu kỳ luân hồi 2π radian hoặc 360 độ:

Ở trên đây θ là góc, một trong những thực bất kỳ; k là một trong những vẹn toàn ngẫu nhiên.

Tan và Cot tuần trả với chu kỳ luân hồi π radian hoặc 180 chừng.

Dùng hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi dung lượng giác đều hoàn toàn có thể được dựng lên vị cách thức hình học tập bên trên một vòng tròn trặn đơn vị chức năng sở hữu tâm ở O.

Hình vẽ mặt mũi đã cho chúng ta biết khái niệm vị hình học tập về những dung lượng giác mang lại góc ngẫu nhiên bên trên vòng tròn trặn đơn vị chức năng tâm O. Với θ là nửa cung AB:

Hàm	Định nghĩa	Chú thích
sin(θ)	AC	định nghĩa lần thứ nhất trình làng vô lịch sử dân tộc vị người nén Độ
cos(θ)	OC
tan(θ)	AE	đường tiếp tuyến với đàng tròn trặn bên trên A, ý nghĩa sâu sắc này đang được tạo nên mang lại cái thương hiệu "tan" của hàm, khởi nguồn từ giờ La tinh ranh là "tiếp tuyến"
cot(θ)	AF
sec(θ)	OE	đường hạn chế vòng tròn trặn, ý nghĩa sâu sắc này đang được tạo nên mang lại cái thương hiệu "secant" của hàm, khởi nguồn từ giờ La tinh ranh là "đường hạn chế vòng tròn"
csc(θ)	OF
versin(θ)	CD	versin(θ) = 1 − cos(θ)
exsec(θ)	DE	exsec(θ) = sec(θ) − 1

Theo hình vẽ, thường thấy sec và tang tiếp tục phân kỳ Khi θ tiến thủ cho tới π/2 (90 độ), csc và cot phân kỳ Khi θ tiến thủ cho tới 0. phần lớn cơ hội xây cất tương tự động hoàn toàn có thể được tiến hành bên trên vòng tròn trặn đơn vị chức năng, và những đặc điểm của những dung lượng giác hoàn toàn có thể được chứng tỏ vị hình học tập.

Định nghĩa vị chuỗi[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm sin (xanh lam) được xấp xỉ vị chuỗi Taylor bậc 7 (màu hồng).

Dùng hình học tập và những đặc điểm của số lượng giới hạn hàm số, hoàn toàn có thể chứng tỏ rằng đạo hàm của hàm sin là hàm cos và đạo hàm của hàm cos là ngược vệt của hàm sin. cũng có thể sử dụng chuỗi Taylor nhằm phân tách hàm sin và cos đi ra chuỗi, mang lại từng góc x đo vị độ quý hiếm radian thực. Từ nhì hàm này hoàn toàn có thể suy đi ra chuỗi của những dung lượng dạng còn sót lại.

Các đẳng thức tiếp sau đây cho thấy thêm chuỗi Taylor của những dung lượng giác. Chúng hoàn toàn có thể dùng để khái niệm mang lại dung lượng giác. Chúng được sử dụng trong không ít phần mềm, như chuỗi Fourier), vì như thế lý thuyết của chuỗi vô hạn hoàn toàn có thể được xây cất kể từ nền tảng khối hệ thống số thực, song lập với hình học tập. Các đặc điểm như khả vi hoặc liên tiếp hoàn toàn có thể được chứng tỏ chỉ với khái niệm vị chuỗi.

Trong bảng bên dưới, quy ước:

E_n là số Euler loại n

U_n là số lên/xuống loại n

Hàm	Định nghĩa	Cụ thể
sin(x)
cos(x)
tan(x)
cot(x)
sec(x)
csc(x)

Trên ngôi trường số phức[sửa | sửa mã nguồn]

Từ khái niệm vị gì ê hoàn toàn có thể chứng tỏ rằng những hàm sin và cos là phần ảo và phần thực của hàm nón của số ảo:

Với i là đơn vị chức năng ảo, căn bậc nhì của -1.

Liên hệ này được trị hiện nay lần thứ nhất vị Euler và công thức này đang được gọi là công thức Euler. Trong giải tích phức, nếu như vẽ vòng tròn trặn đơn vị chức năng bên trên mặt mũi bằng phức, bao gồm những điểm z = e^ix, những côn trùng contact thân thích số phức và lượng giác trở thành rõ nét. Ví dụ như các quy trình mô tả vị hàm nón phức sở hữu đặc điểm tuần trả.

Công thức bên trên cũng được chấp nhận không ngừng mở rộng dung lượng giác đi ra mang lại trở thành phức z:

Trong tình huống đặc biệt quan trọng, z = x, một trong những thực

Định nghĩa vị phương trình vi phân[sửa | sửa mã nguồn]

Cả nhì hàm sin và cos vừa lòng phương trình vi phân

Các hàm này là những hàm ngược vệt của vi phân bậc nhì của bọn chúng.

Trong không khí vectơ hai phía V chứa chấp toàn bộ những nghiệm của phương trình vi phân bên trên, sin là hàm độc nhất vừa lòng ĐK biên y(0) = 0 và y′(0) = 1, còn cos là hàm độc nhất vừa lòng ĐK biên y(0) = 1 và y′(0) = 0. Hai hàm đó lại song lập tuyến tính vô V, bọn chúng tạo nên trở thành hệ hạ tầng mang lại V.

Thực tế cơ hội khái niệm này tương tự với việc sử dụng công thức Euler. Phương trình vi phân không chỉ có hoàn toàn có thể được dùng để làm khái niệm sin và cos mà còn phải hoàn toàn có thể được dùng để làm chứng tỏ những đẳng thức lượng giác cho những hàm này.

Hàm tan là nghiệm độc nhất của phương trình vi phân phi tuyến sau:

với ĐK biên y(0) = 0. Xem [1] Lưu trữ 2004-06-02 bên trên Wayback Machine cho 1 chứng tỏ của công thức này.

Các phương trình bên trên chỉ đúng lúc trở thành số trong những dung lượng giác là radian. Nếu sử dụng đơn vị chức năng đo góc không giống, trở thành số thay cho thay vị qua chuyện một nhân tử k. Ví dụ, nếu như x được xem vị chừng, k tiếp tục là:

Xem thêm: các công thức lượng giác đặc biệt

Lúc đó:

và vi phân của hàm sin bị thay cho thay đổi nằm trong nhân tử này:

Nghĩa là hàm tiếp tục nên thỏa mãn:

Ví dụ bên trên mang lại hàm sin, điều tương tự động cũng xẩy ra mang lại dung lượng giác không giống.

Các khái niệm khác[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm sin và cos, và những dung lượng giác không giống suy đi ra kể từ nhì hàm này, hoàn toàn có thể được khái niệm là hàm sin và cos vô tấp tểnh lý sau:

Tồn bên trên độc nhất cặp hàm sin và cos bên trên ngôi trường số thực thỏa mãn:

sin²(x) + cos²(x) = 1
sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
0 < xcos(x) < sin(x) < x với từng 0 < x < 1

Ở trên đây .

Miền xác lập và miền giá chỉ trị[sửa | sửa mã nguồn]

Các hàm con số giác bên trên ngôi trường số thực sở hữu miền xác lập và miền độ quý hiếm được tổng kết vô bảng sau:

Hàm	Miền xác định	Miền giá chỉ trị
sin	R (toàn cỗ trục số thực)	[-1, 1]
cos	R	[-1, 1]
tang	R/{π/2 + kπ\|k nguyên} (các số thực không giống π/2 + kπ, với k là những số nguyên)	R
cotang	R/{kπ\|k nguyên} (các số thực không giống kπ, với k là những số nguyên)	R

Phương pháp tính[sửa | sửa mã nguồn]

Việc tính độ quý hiếm số cho những dung lượng giác là vấn đề phức tạp. Ngày ni, số đông người xem hoàn toàn có thể sử dụng PC hoặc PC thu về khoa học tập nhằm tính độ quý hiếm những hàm này. Dưới trên đây trình diễn việc sử dụng bảng tính vô lịch sử dân tộc nhằm tra độ quý hiếm những dung lượng giác, nghệ thuật tính thời buổi này vô PC, và một trong những độ quý hiếm đúng mực dễ dàng ghi nhớ.

Trước không còn, việc tính độ quý hiếm những dung lượng giác chỉ việc triệu tập vô những góc ở, ví dụ, kể từ 0 cho tới π/2, vì như thế độ quý hiếm của những dung lượng giác ở những góc không giống đều hoàn toàn có thể được suy đi ra vị đặc điểm tuần trả và đối xứng của những hàm.

Trước Khi sở hữu PC, người tớ thông thường lần độ quý hiếm dung lượng giác bằng phương pháp nội suy từ là một bảng tính sẵn, có tính đúng mực cho tới nhiều chữ số thập phân. Các bảng tính này thông thường được xây cất bằng phương pháp dùng những công thức lượng giác, như công thức phân chia song góc, hoặc công thức nằm trong góc, chính thức từ là một vài ba độ quý hiếm đúng mực (như sin(π/2)=1).

Các PC tân tiến sử dụng nhiều nghệ thuật không giống nhau (Kantabutra, 1996). Một cách thức thịnh hành, đặc biệt quan trọng cho những PC sở hữu những cỗ tính số thập phân, là phối hợp xấp xỉ nhiều thức (ví dụ chuỗi Taylor hữu hạn hoặc hàm hữu tỉ) với những bảng tính sẵn — trước tiên, PC tìm về độ quý hiếm tính sẵn vô bảng nhỏ mang lại góc ở ngay sát góc cần thiết tính nhất, rồi sử dụng nhiều thức nhằm sửa độ quý hiếm vô bảng về độ quý hiếm đúng mực rộng lớn. Trên những Hartware không tồn tại cỗ số học tập và lô gíc, hoàn toàn có thể sử dụng thuật toán CORDIC (hoặc những nghệ thuật tương tự) nhằm tính hiệu suất cao rộng lớn, vì như thế thuật toán này chỉ sử dụng toán tử fake vị và luật lệ nằm trong. Các cách thức này đều thông thường được lắp đặt sẵn trong những Hartware PC nhằm tăng vận tốc xử lý.

Đối với những góc đặc biệt quan trọng, độ quý hiếm những dung lượng giác hoàn toàn có thể được xem vị giấy tờ và cây bút phụ thuộc vào tấp tểnh lý Pytago. Ví dụ như sin, cos và tang của những góc là bội của π/60 radian (3 độ) hoàn toàn có thể tính được đúng mực vị giấy tờ cây bút.

Một ví dụ giản dị là tam giác vuông cân nặng với những góc nhọn vị π/4 radian (45 độ). Cạnh kề b vị cạnh đối a và hoàn toàn có thể bịa a = b = 1. Sin, cos và tang của π/4 radian (45 độ) hoàn toàn có thể tính vị tấp tểnh lý Pytago như sau:

Nên:

Một ví dụ không giống là lần độ quý hiếm dung lượng giác của π/3 radian (60 độ) và π/6 radian (30 độ), hoàn toàn có thể chính thức với tam giác đều phải có những cạnh vị 1. Cả tía góc của tam giác vị π/3 radian (60 độ). Chia song tam giác này trở thành nhì tam giác vuông sở hữu góc nhọn π/6 radian (30 độ) và π/3 radian (60 độ). Mỗi tam giác vuông sở hữu cạnh nhanh nhất là một nửa, cạnh huyền vị 1 và cạnh còn sót lại vị (√3)/2. Như vậy:

Hàm lượng giác ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Các dung lượng giác tuần trả, vậy nên nhằm lần hàm ngược, cần thiết số lượng giới hạn miền của hàm. Dươi đấy là khái niệm những dung lượng giác ngược:

Giới hạn miền	Định nghĩa
-π/2 ≤ y ≤ π/2	y = arcsin(x) Khi và chỉ Khi x = sin(y)
0 ≤ y ≤ π	y = arccos(x) Khi và chỉ Khi x = cos(y)
-π/2 < y < π/2	y = arctan(x) Khi và chỉ Khi x = tan(y)
0 < hắn < π	y = arccot(x) Khi và chỉ Khi x = cot(y)
0 < y < π và y ≠ π/2	y = arcsec(x) Khi và chỉ Khi x = sec(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0	y = arccsc(x) Khi và chỉ Khi x = csc(y)

Các hàm ngược được ký hiệu là arcsin và arccos

Các dung lượng giác ngược cũng hoàn toàn có thể được khái niệm vị chuỗi vô hạn:

Chúng cũng hoàn toàn có thể được khái niệm trải qua những biểu thức sau, phụ thuộc vào đặc điểm bọn chúng là đạo hàm của những hàm không giống.

Công thức bên trên được chấp nhận không ngừng mở rộng dung lượng giác ngược đi ra cho những trở thành phức:

Một số đẳng thức[sửa | sửa mã nguồn]

Xem tăng Đẳng thức lượng giác

Xem tăng Danh sách tích phân với dung lượng giác, Danh sách tích phân với dung lượng giác ngược

Tính hóa học và ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Các dung lượng giác toạ lạc cần thiết vô lượng giác học tập. Mé ngoài lượng giác học tập, tính tuần trả của bọn chúng tiện ích mang lại việc tế bào phỏng những hoạt động sóng như sóng năng lượng điện kể từ hoặc tiếng động. Mọi tín hiệu đều hoàn toàn có thể được phân tách trở thành tổng (vô hạn) của những hàm sin và cos ứng với khá nhiều tần số; đấy là ý tưởng phát minh chủ yếu của phân tách Fourier, dùng để làm xử lý những vấn đề ĐK biên và phương trình đạo hàm riêng rẽ.

Các đặc điểm cần thiết nhất của những dung lượng giác vô lượng giác học tập được thể hiện nay ở tía tấp tểnh lý:

Định lý sin[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý sin tuyên bố mang lại ngẫu nhiên một tam giác nào:

Có thể chứng tỏ tấp tểnh lý này bằng phương pháp phân chia song tam giác trở thành nhì tam giác vuông, rồi sử dụng khái niệm của hàm sin. (sinA)/a là nghịch tặc hòn đảo của 2 lần bán kính đàng tròn trặn trải qua tía điểm A, B và C. Định lý sin hoàn toàn có thể dùng để làm tính chừng nhiều năm của một cạnh Khi đang được biết chừng nhiều năm nhì cạnh còn sót lại của tam giác. Đây là vấn đề hoặc bắt gặp vô kỹ thuật tam giác, một nghệ thuật dùng để làm đo khoảng cách phụ thuộc vào việc đo những góc và những khoảng cách dễ dàng đo không giống.

Định lý cos[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý cos là 1 trong thành quả không ngừng mở rộng của tấp tểnh lý Pytago:

Định lý này cũng hoàn toàn có thể được chứng tỏ bằng sự việc phân chia tam giác trở thành nhì tam giác vuông. Định lý này hoàn toàn có thể được dùng để làm lần những tài liệu không biết về một tam giác nếu như đang được biết khuôn khổ nhì cạnh và một góc.

Nếu góc vô biểu thức ko được quy ước rõ nét, ví dụ nhỏ rộng lớn 90°, thì sẽ sở hữu nhì tam giác vừa lòng tấp tểnh lý cos, ứng với nhì góc C ở trong tầm kể từ 0 cho tới 180°Cùng cho 1 độ quý hiếm cos C

Định lý tan[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý tan tuyên bố là:

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

(bằng giờ Anh)

Carl B. Boyer, A History of Mathematics, 2nd ed. (Wiley, Thủ đô New York, 1991).
Eli Maor, Trigonometric Delights Lưu trữ 2006-04-14 bên trên Wayback Machine (Princeton Univ. Press, 1998).
"Trigonometric functions Lưu trữ 2013-01-20 bên trên Wayback Machine", MacTutor History of Mathematics Archive.
Tristan Needham, Visual Complex Analysis, (Oxford University Press, 2000), ISBN 0198534469 Book trang web Lưu trữ 2004-08-03 bên trên Wayback Machine
Vitit Kantabutra, "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," IEEE Trans. Computers 45 (3), 328-339 (1996).

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm hypebolic
Định lý Pytago
Đẳng thức lượng giác

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

(bằng giờ Anh)

Xem thêm: cos nhân sin bằng

Khóa học tập lượng giác của Dave Lưu trữ 2005-02-04 bên trên Wayback Machine sử dụng những phần mềm Java nhằm tế bào mô tả những đặc điểm của dung lượng giác.
Vẽ vật thị hàm số trọn vẹn vị Javascript. Chạy bên trên đa số những trình duyệt tân tiến.
Công thức tính tương quan cho tới cos Lưu trữ 2007-09-29 bên trên Wayback Machine.