Công thức tính thể tích khối tròn xoay và ví dụ minh họa

Khối tròn xoe xoay là gì? Cách tính thể tích khối tròn xoe xoay như vậy nào?

Bạn đang xem: công thức thể tích khối tròn xoay

Khối tròn xoe xoay là 1 trong những khối hình được tạo nên bằng phương pháp cù một phía phẳng lì xung quanh một trục thắt chặt và cố định như khối nón tròn xoe xoay, khối trụ tròn xoe xoay, khối cầu tròn xoe xoay,... Dưới đấy là công thức tính thể tích khối tròn xoe xoay, mời mọc chúng ta tìm hiểu thêm.

Các khối tròn xoe xoay thông thường gặp: Khối tròn xoe xoay hình trụ, khối tròn xoe xoay hình nón, khối tròn xoe xoay hình cầu.

Tính thể tích khối tròn xoe xoay xung quanh trục Ox

Nếu khối tròn xoe xoay xung quanh trục Ox thì nhằm tính thể tích khối tròn xoe xoay rất có thể vận dụng những công thức sau:

Trường ăn ý 1: Khối tròn xoe xoay tạo nên bởi:

Đường trực tiếp y= f(x)
Trục hoành y=0
x=a; x=b

Khi cơ, công thức tính thể tích là:

$V=\pi \int_a^b f^2(x) d x$

Trường ăn ý 2: Khối tròn xoe xoay được tạo nên bởi:

Đường trực tiếp y= f(x)
Đường trực tiếp y= g(x)
x=a; x=b

Khi cơ công thức tính thể tích khối tròn xoe xoay tiếp tục là:

$V=\pi \int_a^b\left[f^2(x)-g^2(x)\right] d x(g(x) \leq f(x) )$ với $\forall x\in[a;b]$

Tính thể tích khối tròn xoe xoay xung quanh trục Oy

Nếu khối tròn xoe xoay xung quanh trục Oy thì nhằm tính thể tích khối tròn xoe xoay rất có thể vận dụng những công thức sau:

Trường ăn ý 1: Khối tròn xoe xoay được tạo nên bởi:

Đường x=g(y)
Trục tung (x=0)
y=c; y=d

Khi cơ công thức tính thể tích khối tròn xoe xoay tiếp tục là:

$V=\pi \int_c^d g^2(y) d y$

Trường ăn ý 2: Khối tròn xoe xoay được tạo nên bởi

Đường x=f(y)
Đương x=g(y)
y=c; y=d

Khi cơ thể tích khối tròn xoe xoay tiếp tục là:

$V=\pi \int_c^d\left[f^2(y)-g^2(y)\right] d nó \quad(g(y) \leq f(y))$ với $\forall y\in[c;d]$

Bảng tóm lược công thức tính thể tích khối tròn xoe xoay:

1. V_x sinh bởi vì diện tích S S cù xung xung quanh Ox:

2. V_x sinh bởi vì diện tích S S cù xung xung quanh Ox:

Ví dụ về tính chất thể tích khối tròn xoe xoay

Ví dụ 1:

Tính thể tích của khối tròn xoe xoay nhận được Lúc cù hình phẳng lì được số lượng giới hạn bởi vì lối cong nó = sinx, trục hoành và hai tuyến phố trực tiếp x=0, x=π (hình vẽ) xung quanh trục Ox.

Lời giải

Áp dụng công thức ở tấp tểnh lý bên trên tao có

$V=\pi \int_0^\pi \sin ^2 x d x=\frac{\pi}{2} \int_0^\pi(1-\cos 2 x) d x$

$=\left.\frac{\pi}{2}\left(x-\frac{1}{2} \sin 2 x\right)\right|_0 ^\pi$

$=\frac{\pi}{2}\left(\pi-\frac{1}{2} \sin 2 \pi\right)-\frac{\pi}{2}\left(0-\frac{1}{2} \sin 0\right)$

$=\frac{\pi^2}{2}$

Ví dụ 2:

Tính thể tích khối tròn xoe xoay nhận được Lúc cù hình phẳng lì được số lượng giới hạn bởi vì lối cong $y=\sqrt{A^2-x^2}$ và trục hoành xung quanh trục hoành.

Tính thể tích khối tròn xoe xoay nhận được Lúc cù hình phẳng lì được số lượng giới hạn bởi vì lối cong và trục hoành xung quanh trục hoành

Xem thêm: công thức cơ bản lượng giác

Giải:

Ta thấy:

$y=\sqrt{A^2-x^2}<=>\ y^2=A^2\ -x^2\ \ <=>\ y^2\ +x^2\ =\ A^2$

Do $\sqrt{A^2-x^2}\ge\ 0$ với từng x, vì vậy đấy là phương trình nửa lối tròn xoe tâm O, nửa đường kính R = A ở phía bên trên trục Ox. Khi xoay quanh trục Ox thì hình phẳng lì tiếp tục tạo thành một khối cầu tâm O, nửa đường kính R = A (hình vẽ). Do vậy tao đem luôn

$V=\frac{4}{3}\pi A^3$

Vậy với câu hỏi dạng này, tao ko cần thiết ghi chép công thức tích phân tuy nhiên Kết luận luôn luôn theo gót công thức tính thể tích khối cầu.

Ví dụ 3:

Tính thể tích của vật thể nằm trong lòng nhị mặt mũi phẳng lì x = 0 và x = 1, biết tiết diện của vật thể hạn chế bởi vì mặt mũi phẳng lì (P) vuông góc với trục Ox bên trên điểm đem hoành phỏng x(0≤x≤1) là 1 trong những hình chữ nhật có tính nhiều năm nhị cạnh là x và ln(x²+1).

Giải:

Do tiết diện là hình chữ nhật nên diện tích S tiết diện là:

$S(x)=x\ln(x2^{ }+1)$

Ta rất có thể tích cần thiết tính là

$\mathrm{V}=\int_0^1 \mathrm{x} \ln \left(\mathrm{x}^2+1\right) \mathrm{dx}$

$\mathrm{V}=\frac{1}{2} \int_0^1 \ln \left(\mathrm{x}^2+1\right) \mathrm{d}\left(\mathrm{x}^2+1\right)$

$=\left.\frac{1}{2}\left(\mathrm{x}^2+1\right) \ln \left(\mathrm{x}^2+1\right)\right|_0 ^1-\frac{1}{2} \int_0^1\left(\mathrm{x}^2+1\right) \mathrm{d}\left(\ln \left(\mathrm{x}^2+1\right)\right)$

$=\ln 2-\frac{1}{2} \int_0^1 2 x d x=\ln 2-\frac{1}{2}$

Ví dụ 4: Cho hình phẳng lì số lượng giới hạn bởi vì những lối nó = 3x; nó = x; x = 0; x = 1 cù xung xung quanh trục Ox. Tính thể tích của khối tròn xoe xoay tạo nên trở nên.

Cho hình phẳng lì số lượng giới hạn bởi vì những lối nó = 3x; nó = x; x = 0; x = 1 cù xung xung quanh trục Ox

Giải:

Tọa phỏng phú điểm của lối x = 1 với nó = x và nó = 3x là những điểm C(1;1) và B(3;1). Tọa phỏng phú điểm của lối nó = 3x với nó = x là O(0;0).

Vậy thể tích của khối tròn xoe xoay cần thiết tính là:

$V=\pi \int_0^1\left|9 x^2-x^2\right| d x=\pi \int_0^1 8 x^2 d x$

$\Leftrightarrow V=\left.\pi \frac{8 x^3}{3}\right|_0 ^1=\frac{8}{3} \pi$

Ví dụ 5: Cho hình phẳng lì số lượng giới hạn bởi vì những lối nó = 2x²; y² = 4x cù xung xung quanh trục Ox. Tính thể tích của khối tròn xoe xoay tạo nên trở nên.

Cho hình phẳng lì số lượng giới hạn bởi vì những lối nó = 2x2; y2 = 4x cù xung xung quanh trục Ox

Giải:

Với $x\in[0;2]$ thì $y^2=4x$ tương tự $y=2\sqrt{x}$ . Tọa phỏng phú điểm của lối $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}^2$ với $\mathrm{y}^2=4 \mathrm{x}$ là những điểm O(0;0) và A(1;2).

Vậy thể tích của khối tròn xoe xoay cần thiết tính là:

$V=\pi \int_0^1\left|4 x-4 x^4\right| d x=\pi \int_0^1\left(4 x-4 x^4\right) d x$

$V=\left.\pi \cdot\left(2 x^2-\frac{4 x^5}{5}\right)\right|_0 ^1=\frac{6}{5} \pi$

Với những câu hỏi đòi hỏi tính thể tích khối tròn xoe xoay, các bạn chỉ việc dùng đích thị công thức mang đến từng tình huống và chú ý Lúc xác lập cận là rất có thể giải được. Chúc chúng ta thành công xuất sắc.

Xem thêm: viết bản tin về vấn đề học đường